Урок 13. Задачи на нахождение чисел по их сумме или разности и отношению

вторник, 23 февраля 2016 г.

Урок 13. Задачи на нахождение чисел по их сумме или разности и отношению

ВИДЕОУРОК

План решения задач на нахождение чисел по их сумме и частному.

– нарисовать схему задачи,

– найти количество частей,

– разделить сумму чисел на количество частей,

– умножить полученное число на число его частей.

ЗАДАЧА:

В математическом и историческом кружках занимаются 36 учащихся. В историческом кружке учащихся в 2 раза больше, чем в математическом. Сколько учащихся занимается в каждом кружке ?

РЕШЕНИЕ:

Создадим схему задачи.
Если посмотрим схему, то заметим, что для математического кружка мы взяли один отрезок, а для исторического – два, причём отрезки равны. Найдём количество равных отрезков (частей):

1 + 2 = 3.

Вычислим, сколько учащихся приходится на один отрезок (часть), для этого сумму разделим на количество частей:

36 : 3 = 12 (уч.).

Это количество учащихся, занимающихся в математическом кружке.

Так как в историческом кружке занимается в два раза больше учащихся, чем в математическом, то:

12 ∙ 2 = 24 (уч.).

ОТВЕТ: 12 учащихся, 24 учащихся

ЗАДАЧА:

Сумма двух чисел равна 20. Одно число в 3 раза меньше другого. Найдите эти числа.

РЕШЕНИЕ:

Решение таких задач производится путём принятия меньшего числа за 1 часть (долю). Затем выражают второе число и сумму данных чисел в данных частях (долях) с последующим нахождением величины 1 части (доли). Такой способ решения иногда называют способом частей (долей).

Составим схему по условию задачи.

Если принять меньшее число за 1 часть, то большее число составит 3 таких части. Вместе оба числа составят 4 равные части, что по условию равно 20. Поэтому 1 часть равна:

20 : 4 = 5.

Это меньшее число. А 3 таких части равны:

5 ∙ 3 = 15.

Это большее число.

План решения задач на нахождение чисел по их разности и частному.

– нарисовать схему задачи,

– найти разность в количестве частей,

– разделить заданную разность на разность в количестве частей,

– умножить полученное число на число его частей.

ЗАДАЧА:

Мальчики 5-А класса собрали в 6 раз больше макулатуры, или на 450 кг больше, чем девочки этого класса. Сколько килограмм макулатуры собрали пятиклассники ?

РЕШЕНИЕ:

Создадим схему задачи.

Если посмотрим на схему, то заметим, что для девочек мы взяли один отрезок, а для мальчиков – шесть, причём отрезки равные. Найдём разность между отрезками мальчиков и девочек:

6 – 1 = 5.

Вычислим, сколько килограмм приходится на один отрезок (часть), для этого известную разность в килограммах разделим на количество частей:

400 : 5 = 90 (кг).

Это количество макулатуры, которое собрали девочки.

Так как мальчики собрали в 6 раз больше макулатуры, чем девочки, то они собрали:

90 ∙ 5 = 540 (кг).

Найдём, сколько они собрали вместе:

540 + 90 = 630 (кг).

ОТВЕТ: 630 кг

ЗАДАЧА:

Веревку длиной 20 м разделили на две части в отношении 2 : 3. Определите длину каждой части.

РЕШЕНИЕ:

В этой задаче дана сумма двух искомых частей и их отношение.

Находим, сколько метров верёвки соответствует одной части отношения:

20 : 5 = 4 (м),

Итак, длина первой части:

2 ∙ 4 = 8 (м),

а другой:

3 ∙ 4 = 12 (м).

ЗАДАЧА:

Разность двух чисел равна 14. Частное от деления большего числа на меньшее равно 4¹/₃. Найти эти числа.

РЕШЕНИЕ:

Так как частное от деления большего числа на меньшее равно 4¹/₃, то меньшее число составляет 1 часть, а большее – 4¹/₃ таких частей. Имеем:

4¹/₃ – 1 = 3¹/₃ (части) составляет разность чисел 14:

14 : 3¹/₃= 4¹/₅ – меньшее число:

4¹/₅× 4¹/₃= 18¹/₅ – большее число.

ОТВЕТ:

18,2 и 4,2.

ЗАДАЧА:

На одном складе в 3 раза больше муки, чем на другом. Если из одного склада вывести 850 кг, а из другого 50 кг, то на обоих складах останется муки поровну. Сколько муки было на каждом складе ?

РЕШЕНИЕ:

Из рисунка ясно, что ²/₄ части имеющейся муки составляют 800 кг, значит, на втором складе было 400 кг (¹/₄ часть), на первом – 1200 кг.

ОТВЕТ:

1200 кг, 400 кг.

ЗАДАЧА:

Колхоз засеял пшеницей и рожью 1100 га земли. Сколько гектаров засеял колхоз пшеницей и сколько рожью, если 0,3 площади засеянной пшеницей, равны 0,8 площади, засеянной рожью ?

РЕШЕНИЕ:

В этой задаче известна сумма искомых площадей (1100 га), а отношение их, хотя и не дано явно, можно определить. Будем рассуждать так: если 0,3 площади под пшеницей равны 0,8 площади под рожью, то вся площадь под пшеницей равна

^0,8/_0,3,

или ⁸/₃ площади под рожью. Следовательно, если всю площадь под рожью возьмем за 1 часть, то площадь под пшеницей будет составлять ⁸/₃ таких частей, то есть площадь под пшеницей относится к площади под рожью, как 8 : 3.

Сумма частей отношения равна:

8 + 3 = 11,

Находим, сколько гектаров земли соответствует одной части отношения:

1100 : 11 = 100 (га),

Итак, засеяно пшеницей:

8 ∙ 100 = 800 (га),

а рожью:

3 ∙ 100 = 300 (га).

ЗАДАЧА:

Веревку длиной 22 м разрезали на две части так, что одна из них стала на 20% длиннее второй. Определите длину каждой части.

РЕШЕНИЕ:

ПЕРВЫЙ СПОСОБ.

В этой задаче дана сумма (22 м), а отношение искомых длин выражено в процентах. Если одна часть на 20% длиннее второй, то это означает, что первая на ¹/₅ длиннее второй, то есть искомые части относятся, как 6 : 5.

Сумма частей отношения равна:

6 + 5 = 11,

Находим, сколько метров верёвки соответствует одной части отношения:

22 : 11 = 2 (м),

Длина первой части верёвки:

2 ∙ 6 = 12 (м).

Длина другой части верёвки:

2 ∙ 5 = 10 (м).

ВТОРОЙ СПОСОБ.

Эту задачу обычно решают так: вторую часть берут за 100%, тогда первая будет составлять 120%, а обе части, то есть 22 м, составят 220%. Итак, длина первой части:

а другая:

ПРОВЕРКА:

12 + 10 = 22,

12 – 10 = 2,

2 : 10 = 0,2 = 20%.

Иногда считают, что если первая часть больше второй на 20%, то и вторая меньше первой на 20% (аналогично: если одно число больше второго на 20, то второе меньше первого тоже на 20), поэтому длину первой части берут за 100%, а второго за 80%. Такое решение неправильно. Дело в том, что в каждом из этих случаев 20% берется от разных чисел. В задаче сказано, что первая часть на 20% больше второй. Это означает, что первая часть веревки больше второй на 20% второй. Если первую часть берем за 100%, а вторую за 80%, то это означает, что первая больше второй на 20% первой. А 20% первой части и 20% второй – неравны между собой. Следовательно, решая задачи на проценты, нужно каждый раз обращать внимание на то, от какого числа берутся проценты.

Задания к уроку 13

Другие уроки:

Урок 1. Отношение величин

Урок 2. Пропорции

Урок 3. Величины прямо пропорциональные

Урок 4. Величины обратно пропорциональные

Урок 5. Пропорциональное деление

Урок 6. Проценты

Урок 7. Нахождение процентов данного числа (задачи)

Урок 8. Нахождение числа по его процентам (задачи)

Урок 9. Нахождение процентного отношения двух чисел (задачи)

Урок 10. Простые и сложные проценты