Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 5. Пропорциональное деление

ВИДЕОУРОК

Деление числа на части прямо пропорционально данным числам.

Чтобы разделить число на части прямо пропорционально нескольким данным числам, достаточно разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из этих чисел.

ЗАДАЧА:

Разделить число 100 на две части прямо пропорционально числам 2 и 3.

РЕШЕНИЕ:

Эту задачу следует понимать так: разделить 100 на две части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 и 3. Если обозначить искомые числа буквами х₁ и х₂, то эту задачу можно сформулировать и так. Найти х₁ и х₂ такие, чтоб

х₁ + х₂ = 100,

х₁ : х₂ = 2 : 3.

ОТВЕТ:

40 и 60.

ЗАДАЧА:

Двое рабочих заработали 9000 руб. Один работал 2 недели, а другой 8 недель. Сколько денег заработал каждый ?

РЕШЕНИЕ:

Исходя из условия задачи, можно найти как оплачивается одна неделя такой работы:

9000 : (8 + 2) = 900 руб за неделю.

Теперь можно рассчитать, сколько заработал каждый рабочий пропорционально времени потраченному каждым из них на работу:

900 ∙ 2 = 1800 руб – первый рабочий,

900 ∙ 8 = 7200 руб – второй рабочий.

ОТВЕТ: 1800 руб, 7200 руб

ЗАДАЧА:

Два куска одинаковой ткани стоят 360 руб. В одном из них 5 м, а в другом 4 м. Сколько стоит каждый кусок ткани ?

РЕШЕНИЕ:

Составим краткую запись к задаче в виде таблицы.

Поскольку в задаче указана одинаковая ткань, значит, и цена у неё одинаковая. Нужно узнать стоимость каждого куска ткани. Чтобы найти стоимость куска ткани, надо знать цену и количество метров ткани. В данной задаче не известна цена ткани. Чтобы знать цену, нужно узнать стоимость и количество ткани.

Мы знаем стоимость 2 кусков ткани – 360 руб.

Значит, можем узнать, за сколько метров заплатили 360 руб.

5 + 4 = 9 (м).

Теперь найдём, сколько стоит 1 м ткани.

360 : 9 = 40 (руб).

Затем найдём стоимость каждого куска ткани, так как уже знаем количество ткани и стоимость 1 м.

40 ∙ 5 = 200 (руб),

40 ∙ 4 = 160 (руб).

ОТВЕТ: 200 руб, 160 руб

ЗАДАЧА:

В одном мешке было 56 кг муки, а в другом – 24 кг муки. Эту муку расфасовали в 40 пакетов поровну. Сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка ?

РЕШЕНИЕ:

Составим краткую запись в виде таблицы.

В задаче сказано, что муку расфасовали поровну, значит, в каждом пакете одинаковое количество килограммов. Известно, что муку расфасовали в 40 пакетов. Чтобы узнать, сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка, сначала нужно узнать массу одного пакета. Чтобы узнать массу одного пакета, нужно знать массу всей муки и количество всех пакетов.
Найдём массу всей муки.
56 + 24 = 80 (кг).

Теперь найдём, сколько муки находится в одном пакете.

80 : 40 = 2 (кг).

Так как в одном пакете 2 кг муки, а в первом мешке 56 кг, значит для расфасовки 56 кг муки необходимо 28 пакетов.

56 : 2 = 28.

А для расфасовки 24 кг муки необходимо 12 пакетов.

24 : 2 = 12.

ОТВЕТ: 24 пакета, 12 пакетов

ЗАДАЧА:

Двое рабочих вместе заработали 12500 руб, один рабочий работал 4 дня, а другой работал 6 дней. Как они должны разделить заработанные деньги ?

РЕШЕНИЕ:

Прежде всего, устанавливается какая зависимость между этими величинами. Она прямо пропорциональная.

Первый рабочий должен взять 4 такие части общего заработка, каких второй рабочий возьмёт 6, то есть заработок первого рабочего, относится к заработку второго рабочего, как

4 : 6.

Если обозначить

х₁ – заработок первого рабочего, а

х₂ – заработок второго рабочего,

то можно записать:

х₁ : х₂ = 4 : 6 = 2 : 3.

Так как

х₁ = 12500 – х₂, то

(12500 – х₂) : х₂ = 2 : 3, или

(12500 – х₂) ∙ 3 = 2 ∙ х₂,

37500 – 3х₂ = 2х₂

х₂ = 37500 : 5 = 7500 (руб),

х₁ = 12500 – 7500 = 5000 (руб).

ОТВЕТ: 7500 руб, 5000 руб

Рассмотрим задачи деления числа прямо пропорционально трём и более числам.

ЗАДАЧА:

Чтобы приготовить щи из свежей капусты, берут мясо, свежую капусту, помидоры и масло в отношении

25 : 25 : 10 : 2.

Сколько надо взять этих продуктов, если мяса взяли 300 г ?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим величину одной части – х, тогда

25х (г) – капуста,

25х (г) – мясо,

10х (г) – помидоры,

2х (г) – масло.

Так как мяса взяли 300 г, то вес одной части будет равен:

25х = 300, х = 12.

Вычислив вес одной части, можно найти массу каждого из продуктов:

25 ∙ 12 = 300 (г) – капуста,

10 ∙ 12 = 120 (г) – помидоры,

2 ∙ 12 = 24 (г) – масло.

ОТВЕТ:

300 г, 300 г, 120 г, 24 г

ЗАДАЧА:

В тугоплавком стекле содержится кремнезём, известь и поташ в отношении 9 : 1,7 : 1,3. Определите вес колбы, сделанной из этого стекла, если она содержит кремнезёма на 385 г больше, чем поташе.

РЕШЕНИЕ:

кремнезем : известь : поташ =

= 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 : 13.

х – коэффициент пропорциональности, тогда

90х – кремнезем,

17х – известь,

13х – поташ.

Известно, что кремнезема на 385 (г) или (90х – 13х) (г) больше, чем поташе, значит

77х = 385,

х = 5.

тогда вес колбы будет равен:

90х + 17х + 13х =

= х(90 + 17 + 13) =

= 5 ∙ 120 = 600 (г).

ОТВЕТ: 600 г

ЗАДАЧА:

Разделите 38 груш на три части так, чтобы:

РЕШЕНИЕ:

Записать отношения в виде одного ряда невозможно, так как в первом и втором отношении II часть выражена различными числами, поэтому, сначала освобождаемся от дробей:

I : II = 32 : 15,

II : III = 1 : 7.

А затем преобразуем отношения так, чтобы в обеих строчках II часть была выражена одинаковым числом, желательно наименьшим, то есть этим числом является

НОК (1:15) = 15.

Получаем

I : II = 32 : 15,

II : III = 15 : 105,

откуда

I : II : III = 32 : 15 : 105.

х – коэффициент пропорциональности, тогда:

32х – I часть груш,

15х – II часть груш,

105х – III часть груш,

Всего 38 груш, или

32х + 15х + 105х = 152х,

152х = 38,

32х = ¹/₄ ∙ 32 = 8 (груш),

15х = ¹/₄ ∙ 15 = 3³/₄ (груш),

105х = ¹/₄ ∙ 105 = 26¹/₄ (груш),

ОТВЕТ: 8 груш, 3³/₄ груш, 26¹/₄ груш

ЗАДАЧА:

Разделить 780 на четыре части пропорционально числам

1,5, 0,75, 0,4, 1,25.

РЕШЕНИЕ:

Эту задачу следует понимать так: если обозначить искомые числа через х₁, х₂, х₃ и х₄, то:

Умножив каждый из знаменателей на 100 и воспользовавшись свойством равных отношений, получим:

Откуда:

х₁ = 300, х₂ = 150,

х₃ = 80, х₄ = 250.

Деление числа на части обратно пропорционально данным числам.

Чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, надо разделить его прямо пропорционально числам, обратным данным.

ПРИМЕР:

4 : 5 отношение чисел, а обратное отношение 5 : 4, причём

5 : 4 = ¹/₄ : ¹/₅,

то есть, обратное отношение двух чисел равно отношению чисел, обратных данным.

ЗАДАЧА:

Разделить число 52 на три части обратно пропорционально числам

4, 6 и 8.

РЕШЕНИЕ:

Числа, обратные данным:

¹/₄, ¹/₆ и ¹/₈.

Следовательно,

х₁= ¹/₄× 96 = 24,

х₂= ¹/₆× 96 = 16,

х₃= ¹/₈× 96 = 12.

ОТВЕТ:

24, 16 и 12.

ЗАДАЧА:

Разделить число 200 обратно пропорционально 3 и 5.

РЕШЕНИЕ:

Тут другая формулировка требования: разделить 200 в отношении, обратном 3 и 5, то есть, в первом из искомых чисел должно быть пять таких частей, каких во втором три.

Значит:

х₁ : х₂ = 5 : 3,

х₁ = ²⁰⁰/₈ ∙ 5 = 125,

х₂ = ²⁰⁰/₈ ∙ 3 = 75.

ЗАДАЧА:

Разделить число 130 обратно пропорционально 2, 3 и 4.

РЕШЕНИЕ:

х₁ : х₂ = 3 : 2 = 6 : 4,

х₂ : х₃ = 4 : 3.

Можно свести обратно пропорциональное деление к делению прямо пропорциональному, то есть перейти к одному ряду соотношений:

х₁ : х₂ : х₃ = 6 : 4 : 3,

откуда:

х₁ = 60, х₂ = 40, х₃ = 30.

ЗАДАЧА:

Разделить число 680 обратно пропорционально ¹/₂, ³/₄, ⁵/₆.

РЕШЕНИЕ:

х₁ : х₂ = ³/₄ : ¹/₂ = 3 : 2 = 15 : 10,

х₂ : х₃ = ⁵/₆ : ³/₄ = 10 : 9.

х₁ : х₂ : х₃= 15 : 10 : 9.

откуда:

х₁ = 300, х₂ = 200, х₃ = 180.

ЗАДАЧА:

Разделить число 420 обратно пропорционально 3, 5 и 6.

РЕШЕНИЕ:

х₁ : х₂ = 5 : 3 = 10 : 6,

х₂ : х₃ = 6 : 5.

х₁ : х₂ : х₃= 10 : 6 : 5.

Откуда:

х₁ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 10 = 200,

х₂ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 6 = 120.

х₃ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 5 = 100.

Но если 420 разделить прямо пропорционально

¹/₃, ¹/₅, ¹/₆, то

х₁ : х₂ : х₃= ¹/₃ : ¹/₅ : ¹/₆ = 10 : 6 : 5,

то есть результат вычисления получится такой же.

ЗАДАЧА:

Один рабочий выполняет норму за 6 час, другой за 5 час, а третий за 4,5 час. Работая вместе, они изготовили 795 деталей. Сколько деталей изготовил каждый рабочий ?

РЕШЕНИЕ:

Время работы обратно пропорционально количеству изготовленных деталей.

х₁ – количество деталей, изготовленных первым рабочим,

х₂ – количество деталей, изготовленных вторым рабочим,

х₃ – количество деталей, изготовленных третьим рабочим,

х₁ : х₂ : х₃= ¹/₆ : ¹/₅ : ¹/_4,5 = 15 : 18 : 20.