Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 12. Задачи на нахождение чисел по их сумме и разности

ВИДЕОУРОК

ЗАДАЧА:

Мальчик и девочка собрали вместе 60 штук грибов, причем мальчик собрал на 12 грибов больше, чем девочка. Сколько грибов собрал каждый из них ?

РЕШЕНИЕ:

Прежде всего изобразим две корзины с грибами.
Грибы собраны девочкой, заполнили корзину до отказа, а так как у мальчика их на 12 больше, то этот излишек создает «верх» в корзине (как говорят, корзина заполнена с «верхом»).

Дальше рассуждаем так;

60 – это сумма двух чисел, то есть число всех собранных грибов (они лежат в двух корзинах).

12 – число грибов, на которое мальчик собрал больше, чем девочка, то есть разность двух чисел.

Надо найти каждое из этих чисел, то есть число грибов, собранных отдельно мальчиком и отдельной девочкой.

Такой анализ создает предпосылку для нахождения способа решения, а именно: легко было бы определить число грибов, собранных девочкой, если бы у мальчика в корзине было грибов столько, сколько и у девочки. А можно ли этого добиться ? Да, можно. Для этого нужно <<забрать>> из корзины, в которой лежат грибы, собранные мальчиком, избыток грибов в количестве 12 штук. Когда бы мы это сделали, тогда бы число собранных детками грибов было бы не 60, а

60 – 12 = 48.

Последнее число выражало бы удвоенное количество грибов, собранных девочкой. Отсюда легко определить сначала количество грибов, собранных девочкой, а затем мальчиком.

48 : 2 = 24,

24 + 12 = 36.

ЗАДАЧА:

Как разделить 24 конфеты между братом и сестрой так, чтобы брат получил на 2 конфеты больше, чем сестра ?

РЕШЕНИЕ:

Для начала изобразим графическую схему:

Из схеме очевидно следующее решение:

24 – 2 = 22,

22 : 2 = 11,

11 + 2 = 13.

ЗАДАЧА:

На двух полках было 80 книг, причем на первой на 6 книг больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке ?

РЕШЕНИЕ:

Схематически условия задачи удобно иллюстрировать отрезками.

1. Сколько книг было бы на обеих полках, если бы на второй было столько же, как и на первой ?

80 – 6 = 74 (книги).

2. Сколько книг было на второй полке ?

74 : 2 = 37 (книжек).

3. Сколько книг было на первой полке ?

37 + 6 = 43 (книги).

ЗАДАЧА:

В двух шкафах находится 158 книг. После того как из одного шкафа переложили в другой 20 книг, в первом осталось на 6 книг больше, чем во втором. Сколько книг было в каждом из шкафов первоначально ?

РЕШЕНИЕ:

Чтобы свести эту задачу к более простой, нужно знать следующие данные:

1. Сумму двух чисел.

2. Разность их.

Сумма двух чисел в задаче дана, а разность хоть и дана, но в скрытом виде.

Следовательно, ближайшая задача именно в том и состоит, чтобы найти упомянутую разность. Это можно сделать с помощью схемы,

например так:

Число книг в шкафах изначально схематически изображено двумя отрезками АВ и МК, так что

АВ + МК = 158.

Если перенести из первого шкафа во второй 20 книг, то соответствующее число книг изобразится схематически отрезками АС и КD.

Рассмотрим схему теперь: предыдущее превышение (сверху) книг в первом шкафу составляет

FB = DC + CE + EF =

= 20 + 6 + 20 = 46.

Следовательно, разность данных чисел 46, а сумма их 158.

Теперь легко найти сами числа.

158 – 46 = 112,

112 : 2 = 56,

56 + 46 = 112.

ОТВЕТ: 56, 102

ЗАДАЧА:

Двое рабочих заработали вместе 86 руб. После того, как первый рабочий дал второму 10 руб, то у него осталось на 12 руб больше, чем стало у второго рабочего после того, как он получил 10 руб. Сколько денег было первоначально у каждого рабочего ?

РЕШЕНИЕ:

В результате незначительного сосредоточения внимания на содержательных задачах устанавливаем, что большую сумму денег имел первый рабочий. После этого рисуем диаграмму.

На этой диаграмме отрезок АС обозначает сумму денег, которую первоначально имел первый рабочий, а отрезок EF – сумму денег, которую имел сначала второй рабочий. Тогда отрезок ВС будет графически изображать разницу начальных сумм денег 1-го и 2-го рабочих. От отрезка АС <<отрезаем>> 10 руб. – отрезок DС – и добавляем к отрезку EF. Разница между суммами денег после этой операции будет графически изображаться отрезком LD, который по условию задачи будет соответствовать 12 рублям.

При каждой операции увеличение и уменьшение отрезков ссылаемся на соответствующее условие задачи.

После таких графических операций первоначальный избыток суммы денег первого рабочего по сравнению с суммой денег второго (отрезок ВС) делится на три части, отражающие собой 10, 12 и 10 рублей. Таким образом, первоначальный избыток денег у первого рабочего составил 32 руб, следовательно, сумма денег второго рабочего составляет

(86 – 32) : 2 = 27 (руб),

а первого

27 + 32 =59 (руб).

ЗАДАЧА:

Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. Сколько метров полотна будет в каждой части ?

РЕШЕНИЕ:

Если бы первая часть куска по длине была такая же, как вторая, т. е. на 16 м меньше, чем в действительности, то весь кусок имел бы

104 м – 16 м = 88 м.

Разделив её пополам, получим длину второй части:

88 м : 2 = 44 м.

Тогда первая часть имеет:

44 м + 16 м = 60 м.

ОТВЕТ:

60 м и 44 м.

Можно было бы предположить, что вторая часть такая же, как первая. Тогда имели бы:

104 м + 16 м = 120 м.

120 м : 2 = 60 м.

60 м – 16 м = 44 м.

Можно эту задачу решить и таким способом. Искомые числа могут быть уравнены, если от большего отнять и прибавить к меньшему их полуразность. Следовательно:

104 м : 2 = 52 м.

16 м : 2 = 8 м.

52 м + 8 м = 60 м.
52 м – 8 м = 44 м.

ЗАДАЧА:

В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке ?

РЕШЕНИЕ:

Выполним схематичный рисунок:

Если из первой коробки вынуть 6 карандашей, в ней станет столько же карандашей, сколько и во второй, а в двух вместе в 2 раза больше, чем во второй:

30 – 6 = 24 (кар.).

Найдём число карандашей во второй коробке:

24 : 2 = 12 (кар.).

Теперь вернём 6 карандашей в первую коробку, то есть найдём число карандашей в первой коробке:

12 + 6 = 18 (кар.).

ОТВЕТ: 18 и 12 карандашей

ЗАДАЧА:

Пусть известна сумма двух чисел 206, и их разность 26. Найти эти числа.

РЕШЕНИЕ:

Если разность двух чисел 26, то одно число больше другого на 26. Если уменьшим большее число на 26, то числа станут равными (первое большее станет равно второму числу) и их сумма уменьшится на 26 и станет равной:

206 – 26 = 180.

Если числа равны, а их сумма стала равна 180, то меньшее число равно:

180 : 2 = 90.

Если второе меньшее число равно 90, а первое на 26 больше, то первое число равно:

90 + 26 = 116.

ПРОВЕРКА:

Если первое число равно 116, а второе 90, то их сумма равна:

116 + 90 = 206.

Если первое число равно 116, а второе 90, то их разность равна:

116 – 90 = 26.

Два условия задачи выполнены, следовательно, задача решена верно.

ОТВЕТ: первое число равно 116, а второе 90.

ЗАДАЧА:

Провод 206 м надо разделить на две части, так, чтобы в одном куске было больше, чем в другом на 26 м.

РЕШЕНИЕ:

Какова бы была длина провода, если бы обе части были одинаковой длины ?

Если уменьшим больший кусок на 26 м, то части станут равными и их сумма уменьшится на 26 м и станет равной:

206 – 26 = 180 (м).

Если части равны, а их сумма стала равна 180 м, то меньшая часть равна:

180 : 2 = 90 (м).

Если меньший кусок 90 м, а первый на 26 м больше, то первый кусок равен:

90 + 26 = 116 (м).

ПРОВЕРКА:

Если длина первого куска провода равна 116 м, а второго 90 м, то их сумма равна:

116 + 90 = 206 (м).

Если первый кусок равен 116 м, а второй 90 м, то их разность равна:

116 – 90 = 26 (м).

Два условия задачи выполнены, следовательно, задача решена верно.

ОТВЕТ: первое кусок равен 116 м, а второй 90 м.

ЗАДАЧА:

В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то тетрадей в пачках стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально ?

РЕШЕНИЕ:

Если убрать 10 тетрадей из первой пачки, то всего будет:

40 – 10 = 30 (тетрадей).

Если в двух пачках оказалось 30 тетрадей и поровну, то во второй пачке было первоначально:

30 : 2 = 15 (тетрадей).

ПРОВЕРКА:

Если в первой пачке было

15 + 10 = 25 (тетрадей),

а во второй 15 тетрадей, то их сумма равна:

25 + 15 = 40 (тетрадей).

Если в первой пачке 25 тетрадей, а во второй 15 тетрадей, то их разность равна:

25 – 15 = 10 (тетрадей).