Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 4. Величины обратно пропорциональные

ВИДЕОУРОК

Если две величины связаны между собой так, что при увеличении (уменьшении) значения одной из них в несколько раз значение второй уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными.

В жизни встречается много таких величин.

Скорость и время при одинаковой длине пути.

Если скорость уменьшается, то время увеличивается, а если скорость увеличивается, то время уменьшается.

Количество рабочих и время при определении объёма работ.

При выполнении одной и той же работы, чем меньше работников, тем больше нужно времени, чтобы выполнить эту работу и наоборот.

Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника.

Если площадь прямоугольника постоянна, то при увеличении длины, ширина уменьшается и наоборот.

ПРИМЕР:

Если на 15 руб, нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от цены одного килограмма. Чем выше цена, тем меньше можно купить на эти деньги товара. Это видно из таблицы.

С повышением в несколько раз цены конфет уменьшается во столько же раз число килограммов конфет, которое можно купить на 15 руб. В этом случае две величины (вес товара и его цена) обратно пропорциональны.

ПРИМЕР:

Если расстояние между двумя городами 1200 км, то оно может быть пройдено в различное время в зависимости от скорости передвижения. Существуют разные способы передвижения: пешком, на лошади, на велосипеде, на пароходе, в автомобиле, на поезде, на самолёте. Чем меньше скорость, тем больше нужно времени для передвижения. Это видно из таблицы.

С увеличением скорости в несколько раз время передвижения уменьшается во столько же раз. Значит, при данных условиях скорость и время – величины обратно пропорциональные.

Свойство обратно пропорциональных величин.

Если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Возьмём пример, который мы рассматривали ранее. Там мы имели дело с двумя величинами – скоростью движения и временем. Если мы будем рассматривать по таблице значения этих величин слева направо, то увидим, что значения первой величины (скорости) возрастают, а значения второй (времени) убывают, причём скорость увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается время. Нетрудно сообразить, что если написать отношение каких-нибудь значений одной величины, то оно не будет равно отношению соответствующих значений другой величины. В самом деле, если мы возьмём отношение четвертого значения верхней величины к седьмому значению (40 : 80), то оно не будет равно отношению четвертого и седьмого значений нижней величины (30 : 15). Это можно написать так:

40 : 80 не равно 30 : 15, или

40 : 80 ≠ 30 : 15.

Но если вместо одного из этих отношений взять обратное, то получится равенство, т. е. из этих отношений можно будет составить пропорцию.

ПРИМЕР:

80 : 40 = 30 : 15

40 : 80 = 15 : 30.

Формула обратной пропорциональности.

Для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся).

Принимая во внимание всё сказанное, легко вывести формулу обратной пропорциональности. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х, а соответствующее значение другой величины – буквой у. Тогда на основании изложенного произведение х на у должно быть равно некоторой постоянной величине, которую обозначим буквой К, т. е.:

х × у = К.

В этом равенстве х – множимое, у – множитель и К – произведение. По свойству умножения множитель равен произведению, делённому на множимое. Значит:

ЗАДАЧА:

Если 12 рабочих выполняют определённую работу за 3 дня, то, за сколько дней эту же работу выполнят 4 рабочих, работая с одинаковой производительностью ?

РЕШЕНИЕ:

Продолжительность работы определённого числа рабочих и число рабочих при одинаковой производительности труда каждого рабочего величины обратно пропорциональные.

Чем больше рабочих работает, тем меньше времени потребуется, чтобы выполнить работу.

Чем меньше рабочих работает, тем больше времени потребуется, чтобы выполнить работу.

По определению обратно пропорциональных величин их произведение постоянное. Тогда найдём их произведения и приравняем их.

Первая пара обратно пропорциональных величин:

12 рабочих выполняют работу за 3 дня.

Вторая пара обратно пропорциональных величин:

4 рабочих выполняют работу за х дней.

Можем записать:

12 ∙ 3 = 4 ∙ х.

Найдём х:

За 9 дней 4 рабочих выполняют данную работу.

ОТВЕТ: 9 дней

ЗАДАЧА:

Бригада рабочих из 5 человек может покрасить помещение за 6 дней. Сколько дней потребуется на выполнение этой работы бригаде из 3 человек ?

РЕШЕНИЕ:

Чем больше рабочих работает, тем меньше времени потребуется, чтобы выполнить работу.

Чем меньше рабочих работает, тем больше времени потребуется, чтобы выполнить работу.

Первая пара обратно пропорциональных величин:

5 человек красят помещение за 6 дней.

Вторая пара обратно пропорциональных величин:

3 человек красят помещение за х дней.

Можем записать:

5 ∙ 6 = 3 ∙ х.

Найдём х:

За 10 дней 3 человека покрасят это помещение.

ОТВЕТ: 10 дней

ЗАДАЧА:

4 сеялки могут засеять поле за 18 дней. За какое время будет засеяно это же поле, если будут работать три сеялки с той же производительностью ?

РЕШЕНИЕ:

Продолжительность работы определённого числа сеялок и число сеялок при одинаковой производительности каждой сеялки, величины обратно пропорциональные.

Чем больше сеялок работает, тем меньше времени потребуется, чтобы засеять поле.

Чем меньше сеялок работает, тем больше времени потребуется, чтобы засеять поле.

Первая пара обратно пропорциональных величин:

4 сеялки засеивают поле за 18 дней.

Вторая пара обратно пропорциональных величин:

3 сеялки засеивают поле за х дней.

Можем записать:

4 ∙ 18 = 3 ∙ х.

Найдём х:

За 24 дня 3 сеялки засеют поле.

ОТВЕТ: 24 дня

ЗАДАЧА:

Засыпать котлован 3 бульдозера могут за 20 дней. За сколько дней выполнят эту же работу 5 бульдозеров ?

РЕШЕНИЕ:

Продолжительность работы определённого числа бульдозеров и число бульдозеров при одинаковой производительности каждого бульдозера, величины обратно пропорциональные.

Чем больше бульдозеров работает, тем меньше времени потребуется, чтобы засыпать котлован.

Чем меньше бульдозеров работает, тем больше времени потребуется, чтобы засыпать котлован.

Первая пара обратно пропорциональных величин:

3 бульдозера засыпают котлован за 20 дней.

Вторая пара обратно пропорциональных величин:

5 бульдозеров засыпают котлован за х дней.

Можем записать:

3 ∙ 20 = 5 ∙ х.

Найдём х:

За 12 дней 5 бульдозера смогут засыпать котлован.

ОТВЕТ: 12 дней

ЗАДАЧА:

4 одинаковые трубы заполняют бассейн водой за 56 минут. За сколько минут можно заполнить бассейн водой с помощью 7 таких труб ?

РЕШЕНИЕ:

Так как чем больше будет труб, тем меньше времени понадобится для заполнения бассейна водой, то время заполнения бассейна обратно пропорционально количеству труб.

Первая пара обратно пропорциональных величин:

4 одинаковые трубы заполняют бассейн водой за 56 минут.

Вторая пара обратно пропорциональных величин:

7 одинаковые трубы заполняют бассейн водой за х минут.

Можем записать:

4 ∙ 56 = 7 ∙ х.

Найдём х:

7 труб заполняют бассейн за 32 минуты.

ОТВЕТ: 32 мин

ЗАДАЧА:

Автор одного сочинения рассчитал, что если его книга будет иметь обычный формат, то в ней будет 96 станиц, если же карманный формат, то в ней окажется 300 страниц. Он испробовал разные варианты, начал с 96 страниц и тогда у него на странице получилось 2500 букв. Сколько будет букв на странице, если в книжке будет 100 страниц ?

РЕШЕНИЕ:

Во всей книге 240000 букв, так как:

2500 × 96 = 240000.

Принимая это во внимание, воспользуемся формулой обратной пропорциональности (у – число букв на странице, х – число страниц),

К = 240000,

следовательно,

Итак, на странице 2400 букв.

Подобно этому узнаем, что если в книге будет 120 страниц, то число букв на странице будет:

ЗАДАЧА:

5 токарей могут выполнить некоторую работу за 16 дней. Во сколько дней могут выполнить эту работу 8 токарей ?

Между числом токарей и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость, то можно написать:

Обозначим искомую продолжительность работы буквой х и подставим в пропорцию, выраженную словами, необходимые числа:

¹⁶/_х = ⁸/₅.

Отсюда:

Природа и жизнь дают нам множество примеров прямой и обратной пропорциональной зависимости величин. Однако нужно заметить, что эти два вида зависимости являются только простейшими. Наряду с ними встречаются иные, более сложные зависимости между величинами. Кроме того, не нужно думать, что если какие-нибудь две величины одновременно возрастают, то между ними обязательно существует прямая пропорциональность. Это далеко не так.

ПРИМЕР:

Плата за проезд по железной дороге возрастает в зависимости от расстояния: чем дальше мы едем, тем больше платим, но это не значит, что плата пропорциональна расстоянию.

Задания к уроку 4

Другие уроки:

Урок 1. Отношение величин

Урок 2. Пропорции

Урок 3. Величины прямо пропорциональные

Урок 5. Пропорциональное деление

Урок 6. Проценты

Урок 7. Нахождение процентов данного числа (задачи)

Урок 8. Нахождение числа по его процентам (задачи)

Урок 9. Нахождение процентного отношения двух чисел (задачи)

Урок 10. Простые и сложные проценты

Урок 11. Задачи на время