Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 8 августа 2018 г.

Урок 10. Объём правильной пирамиды

Объём правильной пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту.
где  S – площадь основания, а  Н – высота пирамиды.

Правильная четырёхугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная шестиугольная пирамида.
ЗАДАЧА:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна  6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол  45°. Найдите объём пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  QABC – заданная по условию пирамида, ∆ АВС – правильный, ВС = 6 см, QК – высота пирамиды, ∠ QВК = 45°.
Площадьоснования:
где  а = ВС = 6 см – сторона основания. Имеем
Поскольку  К – центр треугольника, то  КВ = R – радиус окружности, описанной вокруг основания:
В  ∆ QKB (∠ K = 90°, ∠ QBK = 45°),
∠ KQB = 180° – (90° + 45°) = 45°.

Так как  ∆ QKB – равнобедренный и  QK = КВ = 2√͞͞͞͞͞3 (см).
Объём пирамиды:

ЗАДАЧА:

Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  α. Найдите объём пирамиды, если её высота равна  Н.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABC – данная правильная пирамида

SО – высота, где  О – точка пересечения медиан равностороннего треугольника  АВС, SО = Н. Плоскость  SСО  пересекает боковую грань  АВS  по прямой  КS. Тогда  К – середина стороны  АВ  и  Р – середина высоты  SО  принадлежит плоскости  СSК. Проведём прямую  КР, которая пересекается с ребром  SС  в точке  F. АFВ – данное сечение. Поскольку пирамида правильная, то треугольник  АFВ – равнобедренный (АF = ВF  как соответствующие стороны равных треугольников  АSF  и  ВSF). Отрезок  КО – проекция отрезка  КР  на плоскость основания. Тогда  ∠ PKO – угол между плоскостью основания и плоскостью  АFВ. По условию, ∠ PKO = α.

Из  ∆ POK (∠ O = 90°):

KO = PO ctg ∠ K = 1/2 H ctg α.

Из  ∆ AOK (∠ K = 90°):

AK = KO ctg 30° = 1/2 H ctg α ∙ √͞͞͞͞͞3.

AB = 2AK = √͞͞͞͞͞3 H ctg α.
ОТВЕТ:
Задания к уроку 10
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий