Урок 18. Правильные многогранники

воскресенье, 23 сентября 2018 г.

Урок 18. Правильные многогранники

Многогранник называют правильным, если у него все грани являются правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

Правильные многогранники имеют правильную сетку, то есть все их грани имеют одинаковое число сторон, а из каждой вершины выходит одинаковое число рёбер. Доведено, что существует только пять правильных сеток, то есть, и пять правильных выпуклых многогранников.

Сумма чисел граней и вершин выпуклого многогранника на два больше чем число его рёбер:

В + Г = Р + 2,

где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер многогранника.

Тетраэдр (правильный четырёхгранник), гранями которого является правильные треугольники. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников, поэтому сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины, в каждой из которых сходятся по 3 ребра.

Развёртка тетраэдра.

Свойства тетраэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Гексаэдр (правильный шестигранник – куб), гранями которого являются правильные четырёхугольники. Гексаэдр имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин, в каждой из которых сходятся по 3 ребра.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Развёртка гексаэдра.

Свойства гексаэдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Октаэдр (правильный восьмигранник), гранями которого являются правильные треугольники. Октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин, в каждой из которых сходится по 4 ребра.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Развёртка октаэдра.

Свойства октаэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Додекаэдр (правильный двенадцатигранник), гранями которого являются правильные пятиугольники. Додекаэдр имеет 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин, в каждой из которых сходится по 3 ребра.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Развёртка додекаэдра.

Свойства додекаэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

Икосаэдр (правильный двадцатигранник), гранями которого являются правильные треугольники. Икосаэдр имеет 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин, в каждой из которых сходится по 5 рёбер.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Развёртка икосаэдра.

Свойства икосаэєдра и соотношения между его злементами.

Условные обозначения:

а – ребро многогранника;

N₁ = Г – число граней:

N₂ – число рёбер (сторон) у каждой грани;

N₃ – число ребер у каждой вершины;

N₄ = В – число вершин;

N₅ = Р – общее количество рёбер;

S – площадь поверхности;

V – объём;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности.

ЗАДАЧА:

Ребро правильного тетраэдра равно а. Определите объём тетраэдра.

РЕШЕНИЕ:

Объём тетраэдра (как и любой пирамиды) вычисляют по формуле:

где – S_OC = S_ABC – площадь основания (треугольник АВС),

H = DO – высота тетраэдра.

Тетраэдр АВСD – треугольная пирамида, все рёбра которой равны и равны а.

Поэтому в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороною а. Поэтому площадь основания находим по формуле для равностороннего треугольника:

Поскольку тетраэдр – правильная треугольная пирамида, то высота DO проектируется в центр описанной вокруг треугольника АВС окружности, радиус которой равен:

Высота тетраэдра DO перпендикулярна к плоскости основания (треугольник АВС), поэтому она перпендикулярна до каждой прямой, которая лежит в плоскости основания. откуда DO ⊥ AO, поэтому треугольник АOD (∠ AOD = 90°) – прямоугольный.
В нём известно, что AD = a – гипотенуза (длина ребра тетраэдра) и