среда, 20 июня 2018 г.

Урок 4. Объём правильной призмы

ВИДЕОУРОК
Объём правильной призмы равен произведению площади его основания на высоту.
где  Sосн – площадь основания правильной призмы, h – высота правильной призмы.
Правильная треугольная призма.


Правильная шестиугольная призма.


ЗАДАЧА:

Найти объём правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания равна  8 см, а высота – 9 см.
РЕШЕНИЕ:

V = Sосн × H
S = 6 × SAOB.
AOB – равносторонний,
Sосн = 6×16√͞͞͞͞͞3 = 96√͞͞͞͞͞3  (см2).
V = 96√͞͞͞͞͞3 × 9 = 864√͞͞͞͞͞3 (см3).

ОТВЕТ:  864√͞͞͞͞͞3  см3.

ЗАДАЧА:

Через сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  45°. Площадь полученного сечения равна  16√͞͞͞͞͞6 см2. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCA1B1C1 – данная треугольная призма.
Точка  К – середина бокового ребра  СС1. КАВ – данное сечение.

S∆КАВ = 16√͞͞͞͞͞6 см2.

Проведем  КМ АВ. По теореме про три перпендикуляра  СМ АВ. Поэтому  КМС – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью  КАВ  и плоскостью основания. По условию, КМС = 45°. В треугольнику

КМС (С = 90°)

К = М = 45°.

Поэтому  МС = КС. Треугольник  САВ  будет проекцией треугольника  КАВ, поэтому

SABC = S∆КАВ cos KMC =

= 16√͞͞͞͞͞6 cos 45° =

= 1/2 (16√͞͞͞͞͞6 √͞͞͞͞͞2 ) = 16√͞͞͞͞͞3  (см2).

Поскольку треугольник  АВС – равносторонний, то

SABC = 1/4 AB2√͞͞͞͞͞3.

1/4 AB2√͞͞͞͞͞3  = 16√͞͞͞͞͞3, AB2 = 64,

AB = 8 см, MB = 4 см.

Из  ∆ CМB (M = 90°):

CM = МB tg 60° = 4√͞͞͞͞͞3 (см),

KC = CM = 4√͞͞͞͞͞3 см,

CC1 = 2KC = 8√͞͞͞͞͞3 см.

Vпр. = Sосн.  H = S∆АВС C1C =

= 16√͞͞͞͞͞3 8√͞͞͞͞͞3 = 384 (см3).

ОТВЕТ:  384 см3

ЗАДАЧА:

Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  60°. Площадь полученного сечения равна  8√͞͞͞͞͞3 см2. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть основанием правильной призмы  ABCA1B1C1  будет равносторонний треугольник  АВС.
∆ АВС1 – данное сечение. S∆АВС1= 8√͞͞͞͞͞3 см2. Проведем  С1М АВ. По теореме про три перпендикуляра  CM АВ. Поэтому  С1МС – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью  АВС1  и плоскостью основания. По условию, С1МС = 60°. Треугольник  АВС  будет проекцией треугольника  АВС1, поэтому

S∆АВС = S∆АВС1 cos С1МС.

S∆АВС = 8√͞͞͞͞͞3  cos 60° =

1/2 8√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3  (см2).

S∆АВС = 1/4 AB2√͞͞͞͞͞3 .

1/4 AB2√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3,

AB2 = 16, AB = 4 (см).

S∆АВС = 1/2 AB MC,

4√͞͞͞͞͞3  = 1/2 4 MC,

MC = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

Из  ∆ C1CM (C = 90°):

C1C = МC tg C1MC =

= 2√͞͞͞͞͞3  tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 √͞͞͞͞͞3 = 6 (см),

Vпр. = Sосн.  H =

= 4√͞͞͞͞͞3 6 = 24√͞͞͞͞͞3 (см3).

ОТВЕТ:  24√͞͞͞͞͞3  см3

ЗАДАЧА:

В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной  10√͞͞͞͞͞3. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
У квадрата все стороны равны, поэтому в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами равными  10√͞͞͞͞͞3.
Площадь равностороннего треугольника находим по следующей формуле:
Vпризмы = S Н,
Vпризмы = 75√͞͞͞͞͞3 10√͞͞͞͞͞3 = 2250.
Задания к уроку 4
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий