Урок 14. Объём усечённого конуса

Объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх конусов, имеющих одинаковую высоту с усечённым конусом, а основания: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее и третий – круг, площадь которого есть среднее геометрическое между площадями верхнего и нижнего оснований:

где  Н – высота усечённого конуса, а  R  и  r – радиусы его оснований.

Выразим объём усечённого конуса через площади оснований.

V_{ус. кон.} = ¹/₃ πH (R² + r² + Rr) =

= ¹/₃ H (πR² + πr² + πRr) =

= ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂),

где  S₁ и S₂ – площади оснований.

ЗАДАЧА:

Радиусы оснований усечённого конуса равны  8 см  и  6 см, а его высота – 3 см. Найдите объём усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

V = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂) =

^{= 1}/₃ πH (R² + r² + Rr).

V = ¹/₃ π∙ 3(64 + 36 + 6∙8) =

= π(100 + 8∙6) = 148π (cм³).

ЗАДАЧА:

Ведро в форме усечённого конуса имеет радиусы оснований – 12 см  и  18 см, образующую  20 см. Найдите объём ведра.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Проведём  ВС = ОО₁ = h. Как видно из рисунка  ∆ АВС – прямоугольный, АВ = l = 20 см. Найдём  АС. Так как  ВОО₁С – прямоугольник (а у прямоугольника противоположные стороны равны, то  ВO = RО₁). Откуда можно утверждать, что

AC = AO₁ – BO = R – r =

=18 – 12 = 6 (см).

Поскольку  ∆ АВС – прямоугольный, то по теореме Пифагора

h = OO₁ = BC =

V = ¹/₃ H (S₁ + S₂ + √͞͞͞͞͞S₁S₂).

V = ¹/₃ π∙ 19(144 + 324 + √͞͞͞͞͞144∙324) =

≈ 6,3π(468 + 12∙18) ≈ 4309,2π (cм³)

ОТВЕТ:  4309,2π см³

ЗАДАЧА:

Объём усечённого конуса равен  248π см³, его высота  8 см, а радиус одного из оснований – 4 см. Найдите боковую поверхность усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Боковую поверхность усечённого конуса найдём по формуле:

S_б = π(R₁ + R₂) l,

где  R₁, R₂ – радиусы оснований, l = АВ – секущая. Объём вычисляется по следующей формуле:

V_{ус. кон.} = ¹/₃ πH (R² + r² + Rr).

Зная объём и высоту найдём радиус другого основания из уравнения:

248π = ⁸/₃ π (4² + 4R₂ + R₂²),

R₂² + 4R₂ + 16 = 93,

R₂² + 4R₂ – 77 = 0, R₂ = 7 см.

Так как,  АО = 4 см, ВО₁ = 7 см, то опустив высоту  АК  прямоугольной трапеции  АВО₁О, получим

ВК = ВО₁ – КО₁ =

= ВО₁ – АО =

= 7 – 4 = 3 (см).

По теореме Пифагора из треугольника  АКВ (∠ К = 90°)

Таким образом, боковая поверхность усечённого конуса равна:

S_б = (4 + 7)π√͞͞͞͞͞73 = 11π√͞͞͞͞͞73 (см²).

ОТВЕТ:  11π√͞͞͞͞͞73 см²

ЗАДАЧА:

В усечённом конусе радиусы оснований и образующая относятся как  

3 : 11 : 17, 

а объём равен  815π см³. Найдите полную поверхность 

усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим  

О₁А = r = 3х, 
ОВ = R = 11х  и  
АВ = L = 17х.

Тогда из прямоугольного треугольника  АМВ

По условию задачи объём усечённого конуса  815π, поэтому,

Откуда  х = 1 см, тогда 

R = 11 см, 
r = 3 см, 
L = 17 см.

Полная поверхность усечённого конуса:

S_полн = π[(R + r)L + R² + r²] =

π[(11 + 3)17 + 11² + 3²] = 368π см².

ОТВЕТ:

S_полн = 368π см².   

Задания к уроку 14

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения объёмов
• Урок 2. Объём прямой призмы
• Урок 3. Объём наклонной призмы
• Урок 4. Объём правильной призмы
• Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
• Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
• Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда 
• Урок 8. Объём куба
• Урок 9. Объём пирамиды
• Урок 10. Объём правильной пирамиды
• Урок 11. Объём усечённой пирамиды
• Урок 12. Объём цилиндра
• Урок 13. Объём конуса
• Урок 15. Объём шара и его частей
• Урок 16. Тела вращения
• Урок 17. Комбинации тел (2)
• Урок 18. Правильные многогранники
• Урок 19. Объёмы подобных тел