Урок 2. Объём прямой призмы

пятница, 8 июня 2018 г.

Урок 2. Объём прямой призмы

ВИДЕОУРОК
Основные допущения об объемах.

Объемом геометрического тела называется величина части пространства, занимаемого этим телом.

Принято рассматривать объём как величину, обладающую следующими свойствами:

– равные тела имеют равные объёмы;

– объём какого-нибудь тела, состоящего из частей, равен сумме объёмов этих частей;

– если из двух геометрических тел первое содержится целиком внутри второго, то объём первого тела не превосходит объёма второго;

– если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость, параллельная какой–нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел одинаковые.

Объём прямой призмы V равен произведению её основания на высоту.

где S_осн – площадь основания призмы, h – высота призмы.

Применение тригонометрических функций для решения стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами

9 см и 14 см

и углом между ними 30º. Высота призмы – 15 см. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

S_осн = 9 × 14 × sin 30º =
9 × 14 × ¹/₂ = 63 (см²).

V = S_осн × Н = 63 × 15
= 945 (см³).

ОТВЕТ:

945 см³.

ЗАДАЧА:

Дана прямая четырёхугольная призма АС₁, у которой

и двугранный угол AA₁OO₁DD₁= α. Найти объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Объём призмы V= SH, где S – площадь основания, а Н – высота призмы. По условию задачи площадь основания S = m. Необходимо определить высоту призмы OO₁ = H (призма прямая: OO₁ ⊥ пл. ABCD).

Диагонали основания призмы

определим по данным площадям диагональных сечений

p = H × AC, q = H × BD.

Угол AOD = α как линейный угол данного двугранного угла. Тогда площадь четырёхугольника ABCD

Откуда найдам

Определим объём:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В основании прямой призмы лежит треугольник с углами α и β. Диагональ боковой грани, которая содержит сторону, для которой данные углы будут прилежащими, равна d и образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в основании прямой призмы АВСА₁В₁С₁ лежит треугольник АВС, в котором

∠ А = α, ∠ В = β.

Тогда данная диагональ грани

АА₁В₁В, А₁В = d.

Поскольку ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС, то проекция диагонали А₁В на эту плоскость будет сторона АВ треугольника АВС. Поэтому по условию задачи

∠ А₁ВА = γ.

Объём призмы

V = S × h.

Из ∆A₁BA (∠A = 90°) h =
AA₁ = d sin γ, AB = cos γ.

По теореме синусов для треугольника АВС имеем:

Тогда:

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник. Две диагонали смежных боковых граней, которые имеют общую вершину, равны l и образуют между собой угол α. Плоскость, которая проходит через эти диагонали, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в основании прямой призмы

АВСА₁В₁С₁

лежит равнобедренный треугольник

АВС (АВ = ВС).

Боковыми гранями прямой призмы является прямоугольник. Поскольку АВ = ВС, то прямоугольники АА₁В₁В и СС₁В₁В равны, и поэтому имеют равные диагонали. Проведем диагонали АВ₁ и СВ₁. По условию, АВ₁ = СВ₁= l и ∠ АВ₁С = α. Из точки В₁ проведём перпендикуляр В₁N до стороны АС. Тогда по теореме про три перпендикуляра ВN ⊥ АС. Поэтому ∠ В₁NВ будет линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями АВ₁С и АВС, и, согласно условию задачи, ∠ В₁NВ = β.

Объём призмы найдём по формуле:

V = S_осн × H.

Высота В₁N равнобедренного треугольника АВ₁С будет его биссектрисою и медианою.

Поэтому ∠ АВ₁N = ^α/₂ и АN = NС.

Из ∆ АВ₁N (∠ N = 90º),

В₁N = АВ₁ cos ∠ АВ₁N = l cos ^α/₂,

АN = l sin ^α/₂.

Из ∆ NВ₁B (∠ B = 90°),

H = B₁B = B₁N×sin β

= l cos ^α/₂×sin β,

BN = l cos ^α/₂×cos β.

Тогда:

S_осн = ¹/₂×AC×BN = AN×BN =

l sin ^α/₂×l cos ^α/₂×cos β =

¹/₂ l² sin α×cos β.

V = ¹/₂ l²×sin α cos β×l cos ^α/₂×sin β

= ¹/₄l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ОТВЕТ:

¹/₄l³×sin α×cos ^α/₂×sin 2β.

ЗАДАЧА:

Основание прямой призмы – ромб со стороною а и тупым углом α. Через большую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол β. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ – данная призма.
АВСD – ромб со стороною а,

∠ BAD = ∠ BCD = α.

Тогда ВD – большая диагональ. Треугольник ВDС₁ – данное сечение. По свойству диагоналей ромба СО ⊥ ВD. По теореме про три перпендикуляра С₁О ⊥ ВD. Тогда ∠ С₁ОС – угол, который образуется плоскостью сечения с плоскостью основания.

По условию, ∠ С₁ОС = β.

Из ∆ AOD (∠ O = 90º):

∠ A = ^α/₂,

OA = AD cos ∠ A = a cos ^α/₂,

OC = OA = a cos ^α/₂.

Из ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = a cos ^α/₂ tg β.

V = S_осн_. ∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= a² sin α ∙ a cos ^α/₂ tg β =

= a³ sin α cos ^α/₂ tg β.

ОТВЕТ: a³ sin α cos ^α/₂ tg β

ЗАДАЧА:

Основание прямой призмы – ромб с большею диагональю d и острым углом α. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ – данная призма.
АВСD – ромб c острым углом ВСD,

∠ BCD = α, АС = d.

Треугольник ВС₁D – данное сечение.

∠ ОCD = ∠ ОCВ = ^α/₂.

Так как СО ⊥ ВD (как диагонали ромба), то по теореме про три перпендикуляра ОС₁ ⊥ ВD. Тогда ∠ С₁ОC – угол, который образуется плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, ∠ С₁ОC = γ.

Из ∆ СOD (∠ O = 90º):

OD = OC tg ∠ C = ^d/₂ tg ^α/₂,

BD = 2OD = d tg ^α/₂.

Из ∆ OCC₁ (∠ C = 90º):

OC₁ = OC tg ∠ O = ^d/₂ tg γ.

S_ABCD = ¹/₂×AC×BD =

^{= 1}/₂×d×d tg ^α/₂= ¹/₂×d²×tg ^α/₂.

V = S_осн_.∙ H = S_ABCD ∙ CC₁ =

= ¹/₂×d²× tg ^α/₂× ^d/₂tg γ =

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Найдите объём четырёхугольной прямой призмы, высота которой равна h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами α и β, а острый угол между диагоналями основания равен γ.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи имеем:

Четырёхугольная призма АВСDА₁В₁С₁D₁ с высотой h. Диагонали наклонены к плоскости основания под углом α и β. Острый угол между диагоналями основания равен γ.

Надо найти объём призмы АВСDА₁В₁С₁D₁.

Так как высота призмы дана, то решение сводится к отысканию площади её основания АВСD, которое является выпуклым четырёхугольником.

Площадь выпуклого четырёхугольника выражается через его диагонали d₁, d₂ и угол между ними γ по формуле:

S = ¹/₂ d₁d₂sin γ.

C₁C и D₁D перпендикулярны плоскости основания. ∠ С₁АС = α, ∠D₁DВ = β. Из треугольников АСС₁ и ВDD₁ находим диагонали основания:

d₁ = AC = h∙ ctg α,

d₂ = BD = h∙ ctg β.

Найдём площадь четырёхугольника АВСD, диагонали которого АС и ВD пересекаются в точке О.
S_ABCD = ¹/₂ AC∙ BD∙ sin γ =

^= 1/₂ h²∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.
V_призмы = S_ABCD∙ h =

^= 1/₂ h³∙ ctg α∙ ctg β∙ sin γ.

Задания к уроку 2

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 8 июня 2018 г.