Урок 7. Объём прямоугольного параллелепипеда

понедельник, 2 июля 2018 г.

Урок 7. Объём прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим объём предмета, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Моделью параллелепипеда может служить спичечная коробка, кирпич.

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью плоскими гранями, каждая из которых является прямоугольником.

Шкаф полностью вмещается в комнату, коробка полностью вмещается в шкаф. Говорят, что объём комнаты больше объёма шкафа, а объём шкафа больше объёма коробки.

На рисунке изображены два прямоугольных параллелепипеда, которые заполнены равными кубиками.

В каждом параллелепипеде по 36 кубиков. Эти параллелепипеды имеют равные объёмы, или, говорят, что их вместимость одинакова.

Равные прямоугольные параллелепипеды имеют равные объёмы.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен сумме объёмов его частей. Как измеряется объём прямоугольного параллелепипеда ? Для этого прежде всего нужно установить единицу измерения. За единицу измерения объёма принимается объём куба, сторона которого равна какой-нибудь единице длины. Если длина ребра куба равна сантиметру, то такой куб называется

кубическим сантиметром (см³),

если ребро равно метру, то такой куб называется

кубическим метром (м³);

если – дециметру,

кубическим дециметром (дм³)

и т. д.

Если измерения прямоугольного параллелепипеда выражены натуральным числом, то его объём показывает, сколько единичных кубов нужно, чтобы заполнить его.

Выведем правило вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда. Допустим, что его измерения 5 см, 3 см, 4 см.

Будем его заполнять кубиками с ребром в 1 см. Если длина и ширина одной грани – будем называть её основанием прямоугольного параллелепипеда – 5 см и 3 см, то на ней уложится 5 ∙ 3, то есть 15 кубиков. Чтобы заполнить весь параллелепипед, нужно уложить 4 таких слоя, так как высота параллелепипеда равна 4 см. Следовательно, число всех кубиков будет:

15 ∙ 4 = 60.

Объём одного кубика 1 см³, и, значит, объём прямоугольного параллелепипеда

1 см³ ∙ 60 = 60 см³.

Итак, мы нашли объём прямоугольного параллелепипеда как произведение трёх его измерений:

5 ∙ 3 ∙ 4 (см³).

Имея единицу измерения, мы можем вычислить объём прямоугольного параллелепипеда на основании следующего правила.

Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, надо измерить одной и той же единицей измерения его длину, ширину и высоту и полученные числа перемножить.

Произведение укажет, сколько кубических единиц содержится в объёме прямоугольного параллелепипеда.

ПРИМЕР:

Если размеры прямоугольного параллелепипеда

(5 см, 4 см, 6 см),

то объём будет равен:

5 см × 4 см × 6 см = 120 см³.

Если обозначим объём буквой V, а измерения буквами а, b, с, то получим формулу:

Объём прямоугольного параллелепипеда, с рёбрами а, b, и с, равен произведению длин этих рёбер.

Эта формула справедлива и тогда, когда измерения параллелепипеда выражаются дробными числами. При вычислении по этой формуле нужно следить, чтобы все измерения были выражены одной и той же единицей длины.

ПРИМЕР:

Измерения прямоугольного параллелепипеда 8 дм, 2,5 дм, 6 см. Найдите его объём.

РЕШЕНИЕ:

Выразим все измерения в дециметрах. Так как 6 см = 0,6 дм, то получим:

V = 8 × 2,5 × 0,6 = 12 (дм³).

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

где S_осн – площадь основания прямоугольного параллелепипеда, h – высота прямоугольного параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Определите объём прямоугольного параллелепипеда через площади его граней:

Q₁, Q₂, Q₃.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим измерения параллелепипеда через

x, y, z.

Тогда

xy = Q₁, xz = Q₂, yz = Q₃.

Перемножив правые и левые части этих уравнений, получим

(xyz)² = Q₁Q₂Q₃

откуда

ОТВЕТ:

Применение тригонометрических функций для решения стереометрических залач.

ЗАДАЧА:

В основании прямой призмы лежит прямоугольник, диагонали которого образуют между собой угол φ. Диагональ одной из боковых граней равна b и образует с плоскостью основания угол α. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть основанием прямой призмы

АВСDА₁В₁С₁D₁

является прямоугольник АВСD, О – точка пересечения диагоналей АС и ВD основания, ∠ АОВ = φ.

Противоположными боковыми гранями призмы являются равные прямоугольники, диагонали которых равны. Считаем сначала, что заданна диагональ А₁В грани АА₁В₁В. Поскольку АА₁ ⊥ (АВС), то проекцией диагонали А₁В на плоскость основания будет сторона АВ. Согласно условию задачи:

∠ А₁ОВ = α, А₁В = b.

З ∆А₁АВ (∠ А = 90°),

АВ = А₁В cos α = b cos α ,

АА₁ = А₁В sin α = b sin α.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому OA = OB и

З ∆BАD (∠ А = 90°),

AD = AB tg∠ АBD =

b cos α tg (90º – φ/2) =

b cos α ctg φ/2.

Тогда

V =AD AB AA₁ =

b cos α ctg φ/2 b cos α b sinα

Если считать заданной диагональ A₁D грани AA₁D₁D, то из ∆ А₁АD получим:

AD = b cos α, AA₁ = b sin α.

Тогда из ∆BAD,

AB = AD ctg (90° – φ/2) =

b cos α tg φ/2 и

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В прямоугольном параллелепипеде диагональ d образует с плоскостью основания угол α, а с плоскостью боковой грани – угол β. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в прямоугольном параллелепипеде

АВСDА₁В₁С₁D₁

диагональ В₁D = d.

Поскольку B₁B⊥(ABC), а

B₁C₁⊥(D₁C₁C),

то ∠ B₁DB и ∠ B₁DC₁

– это углы, которые диагональ B₁D образует с плоскостью основания и с плоскостью боковой грани соответственно. Согласно условию,

∠ B₁DB = α a ∠ B₁DC₁ = β.

V = S_осн× H.

З ∆ B₁BD (∠ B = 90°),

B₁B = H = B₁D sin ∠ D = d sin α,

BD = B₁D cos α = d cos α.

З ∆ B₁C₁D (∠ C₁ = 90°),

B₁C₁ = BC = B₁D sin ∠ D = d sin β.

З ∆ BCD (∠C = 90°),

BC²+ CD² = BD²,

d²sin²β + CD² = d²sin²α.

Теперь находим:

S_осн = BC×CD =

ОТВЕТ:

Задания к уроку 7

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 2 июля 2018 г.