Урок 15. Объём шара и его частей

вторник, 4 сентября 2018 г.

Урок 15. Объём шара и его частей

Объём шара.

Введём декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат.

Плоскость ху пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая, задаётся уравнением:

x² + y² = R².

Полуокружность, размещённая над осью х, задаётся уравнением:

поэтому объём шара определяется по формуле:

Объём шара V, радиус которого равен R, вычисляется по формуле:

Объём шарового сегмента.

Шаровым сегментом называется часть шара, которая отсекается от него плоскостью.

Формула для объёма шарового сегмента:

где R – радиус шара, а Н – высота шарового сегмента.

Объём шарового сектора.

Шаровым сектором называется тело, которое образуется из шарового сегмента и конуса в следующий способ:

– если шаровой сегмент меньше полшара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента.

– если же сегмент больше полшара, то обозначенный конус из него удаляется.

Объём шарового сектора получается сложением или отниманием объёмов соответствующего сегмента и конуса.

Для объёма шарового сектора получается следующая формула:

где R – радиус шара, а Н – высота соответствующего шарового сегмента.

Телесный угол.

Часть пространства, которая ограничена пучком прямых, проведенных из одной точки (вершины) до всех точек любой замкнутой линии, называется телесным углом.

Мерою телесного угла является площадь поверхности, которая вырезается данным телесным углом на шаре радиуса R и с центром в вершине этого угла.

Единица измерения телесного угла называется стерадианом.

Один стерадиан – это такой телесный угол, который вырезает на поверхности шара радиуса R фигуру с площадью поверхности равной R².

Вершина телесного угла при этом должна быть размещена в центре шара.

ЗАДАЧА:

Необходимо переплавить в один шар два чугунных шара радиусами

5 см и 6 см.

Найти (с точностью до десятых сантиметра) радиус нового шара.

РЕШЕНИЕ:

Объём начальных шаров:

Объём полученного шара:

С другой стороны по известной формуле:

Имеем:

ЗАДАЧА:

Определите, какую часть объёма шара составляет объём сферического сектора, у которого сферическая и коническая поверхности равновелики.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображён шаровой сектор АСВО, у которого сферическая поверхность равновелика конической.

Если обозначить

ОА = R, АD = r и
СD = h, то
2πRh = πrR,

так как по условию задачи сферическая поверхность шарового сектора равна конической. В этом случае 2h = r.

Из прямоугольного ∆ ADO (∠ D = 90°), учитывая, что

OD = R – h, получим

R² = (2h)² + (R – h)²,

откуда h = ²/₅ R.

Объём шарового сектора

V_{шаров. сект.} = ²/₃πhR² = ⁴/₁₅πR³ = ¹/₅(⁴/₃πR³),

то есть

V_{шаров. сект.} = ¹/₅V_шара.

ОТВЕТ: ¹/₅.

ЗАДАЧА:

Плоскость делит объём шара в отношении 7 : 20. В каком отношении она делит поверхность шара ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть плоскость круга О₁ делит объём шара у отношении 7 : 20.

Проведём диаметр шара ВD перпендикулярно к плоскости круга О₁ и обозначим

ВО₁ = h, ОВ = R,

тогда

О₁D = 2R – h.

По условию задачи

V_{шаров. сегм. треуг. АВС} : V_{шаров.
сегм. треуг. АDС} = 7 : 20,

или

πh²(R – ¹/₃h) : π(2R – h)²[R – ¹/₃ (2R – h)] = 7 : 20.

Откуда после преобразований находим

Заменим R = hx и заметим, что поскольку h < 0, то x > 1. Тогда

Разложив левую часть уравнения на множители, получим

(2х – 3)(14х² + 21х – 9) = 0,

откуда

Так как х > 1, то корни х₂ и х₃ не удовлетворяют условию задачи и, следовательно,

R = hx₁ = ³/₂h,

Теперь найдём отношение поверхностей шарового сегмента

S_АВС = S₁

и шарового сегмента

S_АDС = S₂:

ОТВЕТ: 1 : 2.

ЗАДАЧА:

В шаре, диаметр которого равен 50 мм, должно быть просверлено цилиндрическое отверстие вдоль диаметра шара. Вычислить объём оставшегося кольцеобразного тела (с точностью до 0,5 см³), если диаметр цилиндрического отверстия равен 30 мм.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим осевое сечение полученной конструкции. Построим осевое сечение получившегося кольцеобразного тела.
Высверленная часть шара состоит из цилиндра и двух сегментов, следовательно, искомый объём равен объёму шара без объёма цилиндра и суммы объёмов двух сегментов.

Высота цилиндра Н = 2 ∙ ОВ. Из прямоугольного треугольника АОВ находим:

следовательно, Н = 40 мм.

Высота h каждого сегмента равна:

(50 – 40) : 2 = 5 мм.

Обозначим искомый объём буквой V, тогда:

V = ⁴/₃ πR³ – πr²H – 2πh²(R – ¹/₃ h).

После подстановки в правую часть равенства вместо R, r, H, h их значения, получим:

V = π(⁴/₃∙ 25³ – 15²∙ 40 – 2∙ 25∙ 5² + ²/₃∙ 5³).

После окончательного подсчёта, приняв π = 3,14, найдём объём:

V ≈ 34 см³.

Задания к уроку 15

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 4 сентября 2018 г.