Урок 17. Комбинации тел (2)

суббота, 22 сентября 2018 г.

Урок 17. Комбинации тел (2)

Нами уже рассмотрены простые геометрические тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Но в природе, технике и геометрии также рассматривают комбинации указанных геометрических тел.

ПРИМЕР:

Многогранник, описанный вокруг шара.

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным вокруг шара, если плоскости всех граней касаются шара.

Основные свойства призмы, описанной вокруг шара, такие:

– шар можно вписать в прямую призму, если её основанием является многогранник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности;

– центр шара является серединой высоты призмы, которая соединяет центры окружностей, вписанных в многогранники оснований призмы.

Объём многогранника, описанного вокруг шара, равен произведению полной поверхности многогранника умноженной на третью часть радиуса шара.

ЗАДАЧА:

Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, основанием которого является ромб с диагоналями 6 и 8, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 1.

РЕШЕНИЕ:

Зная диагонали ромба найдём его сторону:

Радиус вписанного в ромб круга:

где S – площадь ромба, а Р – его периметр. Тогда:

Высота боковой грани пирамиды,

где h – высота пирамиды, а r – радиус вписанной в основание круга окружности.

Выполнив вычисления, находим, что

Полная поверхность пирамиды:

а объём пирамиды:

Если объём многогранника, описанного вокруг шара, равен произведению полной поверхности многогранника на третью часть радиуса шара:

то радиус R шара, вписанного в пирамиду, равен:

ОТВЕТ: 0,48.

Шар называется вписанным в конус, усечённый конус и цилиндр, если поверхность шара касается плоскостей оснований этих фигур и всех образующих её боковых поверхностей.

Шар называется описанным вокруг конуса, если поверхность шара проходит через вершину конуса, а окружность основания конуса лежит на поверхности шара.

Шар называется описанным вокруг цилиндра и усечённого конуса, если окружности их оснований лежат на поверхности шара.

Обратите внимание, что в конус всегда можно вписать шар, а вокруг цилиндра и усечённого конуса всегда можно описать шар.

Для других пространственных фигур условия возможности вписать в них и описать вокруг них шар должны быть в каждом случае специально обозначены.

Решение задач с применением тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В конус вписана пирамида SАВС.
В треугольнике АВС, ∠ АСВ = 60°, АВ = 2√͞͞͞͞͞3. Высота конуса SН равна 9. Найдите объём конуса.

РЕШЕНИЕ:

В основании конуса лежит окружность, которая описана вокруг треугольника АВС. По следствию из теоремы синусов:

где R – радиус описанной окружности,
R = 2.

Зная радиус окружности, лежащей в основании конуса, можем найти его объём:

V_кон = ¹/₃ SHπR² = ¹/₃∙ 9∙ π∙ 4 = 12π,

ОТВЕТ: 12π

ЗАДАЧА:

Найдите объём шара, вписанного в тетраэдр с ребром а и двугранным углом при ребре основания α.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

Объём шара находим по следующей формуле:

V_шара = ⁴/₃ πR³.

Решение задачи сводится к нахождению радиуса шара. Центр шара, точка О, лежит на высоте пирамиды (свойство шара, вписанного в тетраэдр).

Проведём высоту пирамиды РО₁, О₁ – центр окружности, описанной около основания пирамиды.

Шар касается боковой грани тетраэдра – ∆ РАВ – в некоторой точке К, лежащей на апофеме РМ (свойство шара, вписанного в тетраэдр).

Запишем формулу для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС:

О₁М = ¹/₂ О₁С = ^а/₆√͞͞͞͞͞3.

∠ РМО₁ = α (определение линейного угла двугранного угла).

Найдём радиус шара ОО₁ = R из треугольника ОО₁М.

∆ ОО₁М = ∆ ОКМ (по двум катетам), поэтому

∠ О₁МО = ¹/₂ ∠ РМО₁ = ^α/₂.

Из ∆ ОО₁М находим:

R = О₁М ∙ tg ^α/₂ = ^а/₆√͞͞͞͞͞3 ∙ tg ^α/₂.

Объём шара:

V_шара = ⁴/₃ πR³ =

= ⁴/₃ π∙ (^а/₆√͞͞͞͞͞3 ∙ tg ^α/₂)³ =

= ¹/₅₄√͞͞͞͞͞3 πa³∙ tg³ ^α/₂.

ЗАДАЧА:

Дана правильная треугольная пирамида объёма V. В эту пирамиду вписан цилиндр так, что одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Найдите наибольший возможный объём такого цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная треугольная пирамида SАВС, объём её равен V.

В пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды, а второе – плоскости сечения, параллельного основанию.

Высоту пирамиды обозначим Н, длину стороны основания – а, высоту цилиндра – h, радиус цилиндра – r.

Для нахождения наибольшего возможного объёма цилиндра можно выразить объём цилиндра как функцию, например высоты цилиндра и найти максимум этой функции.

Рассмотрим сечение А₁В₁С₁ пирамиды плоскостью верхнего основания цилиндра. Это правильный треугольник, гомотетичний основанию АВС с коэффициентом гомотетии
Сторона сечения имеет длину
а радиус вписанной окружности равен: