Урок 3. Объём наклонной призмы

суббота, 16 июня 2018 г.

Урок 3. Объём наклонной призмы

ВИДЕОУРОК
Наклонная призма равновеликая такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота – её боковому ребру.

На рисунке изображена

ABCDA₁B₁C₁D₁

– наклонная призма, а

A'B'C'D'A₁'B₁'C₁'D₁'

– прямая призма, основание которой A'B'C'D', перпендикулярно к боковым рёбрам наклонной призмы, а высота (боковое ребро)

A' A₁'= AA₁ = H.

В этом случае

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:

где S_осн – площадь основания ABCDE, а H = OO₁ – высота.

Если в наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное к боковым рёбрам, которое пересекает все боковые рёбра (сечение KML на рисунку).

Тогда объём призмы V можно найти по формуле:

V = S_пер× l,

где S_пер – площадь сечения, l – длина бокового ребра.

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из его одного конца, то проекция ребра на плоскость основания будет биссектрисою соответствующего угла основания.

Если в наклонной призме две смежные боковые грани образуют одинаковые двугранные углы с основанием, то проекция на основание бокового ребра, которое принадлежит линии пересечения двух граней указанных двугранных углов, будет биссектрисою угла основания.

ЗАДАЧА:

Через среднюю линию основания треугольной наклонной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 5. Найдите объём исходной призмы.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Площадь основания отсечённой части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высоты обеих частей призмы одинаковы, поэтому объём отсечённой части в 4 раза меньше объёма целой призмы, значит, объём исходной призмы равен

5 ∙ 4 = 20.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна m², а расстояние её от противоположного ребра равно 2а. Найти объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть РМN – перпендикулярное сечение призмы,

АС₁ и МL ⊥ РN,

тогда по условию задачи

МL = 2а, а РN × ВВ₁ = m².

Известно, что объём призмы

V = BB₁ × S_PMN,

или

V = ¹/₂× PN × ML × BB₁

= ¹/₂(PN × BB₁) × ML

= ¹/₂m² × 2a = am².

ОТВЕТ:

V = am².

ЗАДАЧА:

Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 6 см, две боковые грани её взаимно перпендикулярны и их площади равны

24 см²и 30 см².

Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Начертим наклонную треугольную призму АВСА₁В₁С₁ с боковым ребром А₁А = 6 см и боковыми гранями АСС₁А₁ и ВСС₁В₁ которые взаимно перпендикулярны.

Проведем перпендикулярное сечение A'B'C'. Тогда:

Поскольку (A'B'C') ⊥ C₁C и плоскость A₁C₁C и B₁C₁C взаимно перпендикулярны, то ∠ A'С'В'= 90°.

Поэтому,

Тогда объём равен:

ОТВЕТ: 60 см³.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме основанием служит правильный треугольник. Одна из вершин верхнего основания треугольника проектируется в центр нижнего. Боковые рёбра призмы составляют с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Проекция О вершины верхнего основания А₁ – центр нижнего и является центром описанной около нижнего основания окружности. Отрезок А₁О – высота призмы. АО – катет прямоугольного треугольника АОА₁.

АО = А₁О : tg 45° = 4.

АО – радиус R описанной окружности.

R = а : √͞͞͞͞͞3,

а = R∙ √͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3.

Площадь равностороннего треугольника находим по следующей формуле:

V_призмы = S_ABC ∙ A₁O.
V_призмы = 12√͞͞͞͞͞3 ∙ 4 = 48√͞͞͞͞͞3.

Задания к уроку 3

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 16 июня 2018 г.