Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник Р, который
содержит основание конуса, и многоугольник Р', который
находится в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в
вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида находится в
конусе.
Как мы знаем, существуют такие многоугольники Р и Р', площади которых при неограниченном увеличении
числа их сторон n неограниченно приближаются к площади круга в
основании конуса.
За величину объёма конуса принимают границу, к которой приближается объём
правильной вписанной в конус (или описанной вокруг него) пирамиды при неограниченном
увеличении числа её боковых граней.
Для таких многоугольников объёмы построенных
пирамид неограниченно приближаются до
где S – площадь основания
конуса, а H – его высота. Отсюда следует, что:
Объём конуса равен произведению площади основания на третью
часть высоты.
ЗАДАЧА:
Высота и образующая конуса относятся,
как 35 : 37. Полная
поверхность конуса равна 588π
см2. Найдите
объём конуса.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим высоту конуса Н = 45х,
а образующую L
= 37х. Тогда радиус основания конуса
Полная поверхность конуса
Sполн = πR(R + L) =
12πx(12x + 37x) = 588πx2
и по условию
588πx2 = 588π.
Откуда х = 1, тогда
R =
12 см, Н =
35 см.
Объём конуса
ОТВЕТ:
V = 1680π
см3 ≈ 5277,88 см3.
ЗАДАЧА:
Найдите объём конуса, если его осевым
сечением является правильный треугольник со стороною 12
см.
РЕШЕНИЕ:
Пусть ∆QAB –
осевое сечение конуса,
QА = QВ = АВ = 12
см.
Поэтому радиус основания:
В ∆QOA высота:
Объём конуса:
Применение тригонометрических функций для решения
стереометрических задач.
ЗАДАЧА:
Разность между образующей и высотой
конуса равна m, а угол между ними равен
α.
Найти объём конуса и вычислить его значение при
m = 5,8 см и α = 42°.
РЕШЕНИЕ:
Дан конус SAB,
у которого SA – SO = m, ∠ OSА = α.
Обозначим AO = R и OS = H, тогда объём конуса
V =
1/3 πR2H.
Из ∆ SAO найдём H = R ctg α, тогда
V =
1/3 πR3ctg α.
Для определения R рассмотрим ∆ AOC. В этом треугольнике
AC
= m,
∠ AOC
= 90° – α,
∠ OCA
= 180° – ∠ SCO =
180° – 1/2 (180° – α) = 90° +1/2 α,
а
∠ AOC
= 180° – 1/2 (180° – α) = α/2, бо
∆ OSC по
условию задачи равнобедренный (SO = SC). По теореме синусов из ∆ AOC находим
R = m ctg α/2.
Для вычисления объёма конуса получим
окончательную формулу
V
= 1/3 m3ctg3 α/2 ctg α (куб. од.).
При m
= 5,8 см и α = 42° имеем с четырьмя значащими цифрами
ctg α/2 = 2,605, ctg 42° = 1,111.
(m ctg α/2)3 =
3449,1.
V = 1277 cм3 = 1,277 дм3.
ОТВЕТ: V = 1,277 дм3
ЗАДАЧА:
Через две образующих конуса, угол
между которыми равен α, проведена плоскость, которая образует с плоскостью
основания угол β. Найдите объём конуса, если его образующая равна а.
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.SО –
его высота. Плоскость сечения SАВ проходит через образующие SА и SВ, тогда ∠ АSВ = α.SА
= SВ = а.
Проведем SМ ⊥
АВ. М –
середина АВ, ∠ ASМ
= α/2. По
теореме про три перпендикуляра ОМ
⊥ АВ.
Тогда ∠ SМO –
угол, который образует плоскость сечения с плоскостью основания.
∠ SМO = β.
Из ∆ SMA (∠ М = 90°):
AM = SA sin∠
ASМ
= a
sin α/2.
SM = SA cos∠
ASМ
= a cos α/2.
Из ∆ SOM
(∠ O = 90°):
SO = SM sin∠
SМO = a cos
α/2 sin β.
Из ∆ SOA
(∠ O = 90°):
OA2 = SA2 – SO2 =
= a2 – a2cos2α/2 sin2
β =
= a2(1 – cos2α/2 sin2
β).
Vк = 1/3 Sо∙ H = 1/3 πOA2∙ SO =
= 1/3
πa2(1 – cos2 α/2 sin2
β) ∙ a
cos α/2
sin β =
=
1/3
πa3(1 – cos2 α/2 sin2 β) ∙ cos
α/2 sin
β
ОТВЕТ:
1/3
πa3(1 – cos2 α/2 sin2 β) ∙ cos
α/2 sin
β
ЗАДАЧА:
Найдите объём конуса,
образующая которого l видна из середины
высоты конуса под углом α.
РЕШЕНИЕ:
Дан конус с образующей l.РО –
высота конуса, М –
середина высоты.РА видна из точки М под углом
α.
Объём конуса находим по
следующей формуле:
Vконуса =
1/3 Sосн ∙ OP
Введём обозначения: вместо ОР
– Н, радиус основания конуса
ОА – R.
Решение задачи сводится к
нахождению площади основания конуса и его высоты.
Sосн = π ОА2.
Треугольник АМО –
прямоугольный, угол ОМА = π – α.
МО = R ∙ ctg (π – α) = –R∙ ctg α.
Н
= 2МО = –2R∙ ctg α.
Из треугольника РАО по теореме Пифагора имеем
R2 + (–2R∙ ctg α)2 = l2.Мы нашли радиус
основания конуса, теперь найдём его высоту
Н:Объём
конуса будет равен:Задания к уроку 13
Комментариев нет:
Отправить комментарий