Урок 9. Объём пирамиды

суббота, 4 августа 2018 г.

Урок 9. Объём пирамиды

Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.

Эта призма сложена из трёх пирамид: данной пирамиды SABC и ещё двух треугольных пирамид SCC₁B₁ и SCBB₁.

У второй и третьей пирамиды равные основания – ∆ CC₁B₁ и ∆ B₁BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объёмы.

У первой и третьей пирамид тоже равные основания – ∆ SAB и ∆ B₁BS и совпадают высоты, проведенные из вершины С. Поэтому у них тоже равные объёмы.

Выходит, все три пирамиды имеют одинаковый объём. Так как сумма этих объёмов равна объёму призмы, то объём пирамид равен

Поэтому, объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

Пусть теперь имеем любую, не обязательно треугольную пирамиду. Разобьём её основание на треугольники ∆₁, ∆₂, …, ∆_n. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами – вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объём данной пирамиды равен сумме объёмов составляющих её пирамид. Так как все они имеют ту же высоту Н, что и данная пирамида, то объём её равен:

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту.

где S – площадь основания, а Н – высота пирамиды.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами

13 см, 20 см и 21 см.

Найдите объём пирамиды, если её высота равна 9 см.

РЕШЕНИЕ:

Площадь основания найдём по формуле Герона.

ОТВЕТ: 378 см³.

ЗАДАЧА:

В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярные к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 30°. Найдите объём пирамиды, если среднее за величиной боковое ребро пирамиды равно 4 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть QABCD – заданная в условии пирамида, АВСD – квадрат, боковые грани QAD и QAB перпендикулярные плоскости основания.

Поскольку боковые грани QAD и QAB перпендикулярные плоскости основания, то боковое ребро, по которому пересекаются эти грани, также перпендикулярное основанию. Поэтому QA = h – высота пирамиды.

AD ⊥ DC, поэтому по теореме про три перпендикуляра QD ⊥ DC. А также QAD ⊥ DC. Поэтому ∠ QDA – угол, который образует боковая грань QDC с плоскостью основания. ∠ QDA – 30° (по условию).

Поскольку ∆ QAD – прямоугольный (∠ A = 90°), то QD > QA. ∆ QDC – прямоугольный (∠ QDC = 90°), поэтому QD < QC. Учитывая также QD = QB (из равенства треугольников QAD и QAB) имеем, что QD – среднее по величине боковое ребро. По условию QD = 4 см.

В ∆ QAO, QA = 4 : 2 = 2 (см), учитывается свойство катета, который лежит против угла 30°.

Площадь основания

Объём пирамиды

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – ромб со стороною а и углом α. Все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны β. Найдите объём пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть SABCD – данная пирамида.

SО – её высота, ABCD – ромб, сторона которого равна а.

∠ ВСD = ∠ ВАD = α.

Тогда ∠ ВСО = ∠ ОСD = ^α/₂. Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания равны, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в ромб окружности – точку пересечения диагоналей. Проведем SМ ⊥ DC. По теореме про три перпендикуляра ОМ ⊥ DC. Тогда ∠ SМО – линейный угол двугранного угла при ребре основания. По условию

∠ SМО = β.

Из ∆ COD (∠ O = 90°):

OC = DC cos ∠ OCD = a cos ^α/₂.

Из ∆ OMC (∠ M = 90°):

OM = OC sin ∠ OCM = a cos ^α/₂ sin ^α/₂.

Из ∆ SOM (∠ O = 90°):

SO = OM tg ∠ M = ^a/₂ sin αtg β.

S_ABCD = a² sin α.

ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами

4 см, 5 см и 6 см.

Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть QABC – заданная в условии пирамида,

АВ = 4 см,
АС = 5 см,
ВС = 6 см.

По известному свойству: точка К – основание высоты QК центр окружности, описанной вокруг ∆ ABC. АК = R – радиус описанной окружности.

∠ QAK = 60° (по условию).

В ∆ QAK,
QK = R tg ∠ QAK = √͞͞͞͞͞3 R (см).

Поскольку

где S – площадь треугольника, тогда имеем:

Задания к уроку 9

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 августа 2018 г.