Урок 5. Объём прямого параллелепипеда

воскресенье, 1 июля 2018 г.

Урок 5. Объём прямого параллелепипеда

ВИДЕОУРОК

Объём прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

где S_осн – площадь основания прямого параллелепипеда, h – высота прямого параллелепипеда.

В отличии от прямоугольного параллелепипеда, все грани которого – прямоугольники, в прямом параллелепипеде в основании находится параллелограмм, а прямоугольниками являются только четыре боковые грани. Но при изображении прямоугольного параллелепипеда мы вынуждены изображать основание также в виде параллелограмма. Поэтому чертёж прямого параллелепипеда по существу ничем не отличается от чертежа прямоугольного параллелепипеда, и это создаёт дополнительные трудности при пользовании чертежом:

Необходимо помнить, что острый угол параллелограмма на чертеже является острым и в самом деле у изображённой фигуры. Для большей ясности рекомендуется на чертеже делать этот угол очень острым, и обязательно отмечать его (в данном случае 60°).

ЗАДАЧА:

В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30º. Боковая поверхность равна S. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим высоту данного параллелепипеда через х.

Тогда

(2a + 2b) x = S.

Откуда

Площадь основания параллелепипеда равна

Объём равен

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b и острый угол – α. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
В прямом параллелепипеде диагонали (всего их четыре) попарно равны:

А₁С = АС₁, ВD₁ = В₁D

(диагонали А₁С и В₁D на чертеже не проведены).

Пусть острый угол основания АВСD есть ∠ DАВ = α, тогда

∠ АВС = 180° – α тупой, и АС ˃ ВD. Значит меньшая диагональ параллелепипеда есть ВD₁

(ибо (ВD₁)² = Н² + ВD²,

тогда как А₁С²= Н² + АС²,

следовательно, ((ВD₁)² < А₁С²).

Из условия ВD₁ = АС можно найти Н. Именно, из треугольника ВDD₁ имеем:

H² = (ВD₁)² – BD² = AC² – BD².

Из треугольника АВD находим:

BD² = a² + b² – 2ab cos α,

а из треугольника АВС находим:

AC² = a² + b² – 2ab cos (180° – α).

Следовательно, H² = 4ab cos α.

Площадь основания равна:

S = ab sin α,

тогда объём равен:

ЗАДАЧА:

Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и √͞͞͞͞͞33 см. Периметр его основания равен 18 см. Боковое ребро равно 4 см. Найти объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

Обозначим большую сторону основания АВ через а, меньшую (ВС) – через b. По условию

а + b = 9 (см).

Чтобы найти а, b, а также острый угол α, вычислим диагонали основания. Так как меньшая диагональ ВD₁ = √͞͞͞͞͞33 см параллелепипеда проектируется на плоскость основания диагональю ВD, то:

BD²= (BD₁)² – (DD₁)² =

= (√͞͞͞͞͞33)² – 4² = 17 (см).

Точно так же найдём АС² = 65 (см²). Получаем два уравнения:

a² + b² – 2ab cos α = 17,

a² + b² + 2ab cos α = 65.

Складывая их, находим

a² + b² = 41,

что вместе с

а + b = 9

даёт а = 5, b = 4 (мы обозначили через а большую сторону). Вычитая, находим

4ab cos α = 48,

то есть,
Следовательно,

S_осн = ab sin α =

= 4 ∙ 5 ∙ 0,8 = 16 (см²).

V = 16 ∙ 4 = 64 см³.

ОТВЕТ: 64 см³

Задания к уроку 5

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 1 июля 2018 г.