Урок 12. Объём цилиндра

пятница, 10 августа 2018 г.

Урок 12. Объём цилиндра

Если тело простое, то есть допускает разбивку на конечное число треугольных пирамид, то его объем равняется сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется в следующий способ.

Данное тело имеет объем V, если существуют простые тела, которые содержат его, и простые тела, которые удерживаются в нем, с объемами, что как угодно мало отличаются от V.

Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой H.

При выводе формулы для площади кругу были построены такие два n- угольника (один – что содержит круг, другой – что удерживается в кругу), что их площади при неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площадям кругу. Построим такие многоугольники для круга в основе цилиндра. Пусть Р – многоугольник, который содержит круг, Р' – многоугольник, который удерживается в кругу.

Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, которая равна высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма находится в цилиндре. Так как при бесконечном увеличении n площади оснований призм бесконечно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объёмы бесконечно приближаются к SH.

За величину объема цилиндра принимают границу, к которой приближаются объемы правильных вписанных в цилиндр (или описанных вокруг него) призм при неограниченном увеличении числа их боковых граней. Заметим, что когда число граней правильной призмы неограниченно увеличивается, то длина основания каждой из них обязательно будет приближаться к нулю.

Объём цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:

ЗАДАЧА:

Найти диагональ осевого сечения цилиндра, если объём цилиндра равен 240π дм³, а боковая поверхность 120π дм².

РЕШЕНИЕ:

По условию

V_цил = 240π дм³,
S_ABCD = 120π дм².

Найти АС.

Обозначим AО = R и AD = H, получим систему уравнений

πR²H = 240π,

2πRH = 120π,

откуда R = 4 дм,
а Н = 15 дм.

Дальше из прямоугольного треугольника АDС находим

ОТВЕТ: 17 дм.

ЗАДАЧА:

Два одинаковых равносторонних цилиндра

(DM = MN = 2R = a)

размещены так, что ось одного из них является касательной второго. Найти объём их общей части

AEDFF₁BE₁C.

РЕШЕНИЕ:

Легко показать, что объём общей части цилиндров

V = AB × S_AEDF.

Площадь общей части оснований AEDF равна сумме площадей двух одинаковых сегментов.

Поскольку EF ⊥ AD и делит радиус основания цилиндра AD пополам, то EF – сторона правильного вписанного в основание ∆ EMF, то есть EF = R√͞͞͞͞͞3 и дуга EDF имеет 120°. Тогда

S_{сегм FAE} = S_{сект DFAE} – S_∆_DFE.

Учитывая, что по условию

R = AD = ^a/₂,

имеем

В этом случае площадь общей части оснований цилиндров

и искомый объём

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В ведро цилиндрической формы вмещается 10 л воды. Игрушечное ведро имеет размеры в 10 раз меньше. Сколько литров воды вмещается в игрушечное ведро ?

РЕШЕНИЕ:

Литр – единица измерения объёма (1 л = 1 дм³).

Имеем большое ведро с объёмом V₁ = 10 л, высотою Н₁, и игрушечное ведро объёмом V₂, высотой Н₂.

Поскольку по условию задачи размеры игрушечного ведра в 10 раз меньше, то

Н₁= 10Н₂

(то есть размеры большого ведра в 10 раз больше игрушечного).

Все (прямые) цилиндры подобные, а у подобных тел отношение объёмов равно отношению их соответствующих линейных размеров, взятых в кубе, то есть:

Поэтому, V₂ = 0,01 л – объём игрушечного ведра, то есть количество воды, которое вмещает игрушечное ведро.

ОТВЕТ: 0,01 л

ЗАДАЧА:

В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,4 раза. Чему равен объём детали ?

РЕШЕНИЕ:

Объём вытесненной жидкости – и есть объём детали. Объём вытесненной жидкости равен 1,4 исходного объёма (если допустить, что первоначальная высота столбика жидкости равна Н, то новая высота столбика – 2,4Н, то есть разница – 1,4Н), поэтому объём детали равен 1,4 от исходного объёма, то есть

1,4 ∙ 10 = 14 л.

ОТВЕТ: 14 л

ЗАДАЧА:

Найдите объём части цилиндра, изображённой на рисунке. Радиус равен 15, высота – 6, угол 60°.

РЕШЕНИЕ:
Часть цилиндра, изображённая на рисунке, – есть ⁵/₆ часть цилиндра с радиусом основания 15 и высотой 6.
Поэтому объём части цилиндра есть

V = ⁵/₆∙ π R²Н = ⁵/₆ π ∙ 15² ∙ 6 = 1125π.

ОТВЕТ: 1125π

ЗАДАЧА:

Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6 г/см³).

РЕШЕНИЕ:

Провод в расправленном положении – это цилиндр.

Его объём вычисляется по следующей формуле:

V = πr²l,

где r – радиус сечения,

l – длина провода.

Из физики известно, что

где p – плотность алюминия,

m – масса алюминия,

V – объём куска провода.

Получаем уравнение

Отсюда
r = 2 мм = 0,2 см,

r² = 0,04 см²,

π ≈ 3,14, p = 2,6 г/см³.
ОТВЕТ: 208 м
Задания к уроку 12

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 10 августа 2018 г.