Урок 16. Тела вращения

понедельник, 17 сентября 2018 г.

Урок 16. Тела вращения

Телом вращения в самом простом случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными к некоторой прямой – оси вращения, пересекается по кругам с центрами, которые лежат на этой прямой.

Круговой цилиндр, конус, шар – примеры тел вращения.

Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет SO, вокруг которого происходит вращение, называется осью конуса, а гипотенуза является образующей конуса. Кроме того, катет ОD равняется радиусу основы конуса, а катет SO равняется его высоте:

R = ОD, Н = SO.

Найдем формулу для вычисления объема любого тела вращения.

Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовые координаты х, y приняв ось тела за ось х. Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии.

Пусть y = (х) – уравнение той части этой линии, которая расположена над осью х. Проведем через точку (х, 0) плоскость, перпендикулярную оси х, и обозначим через V(x) объём части тела, которая лежит влево от этой плоскости, V(x) является функцией от х. Разность

V(x + h) – V(x)

представляет собой объем прослойки тела толщиной h, заключительного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси х и проходят через точки с абсциссами х и х + h. Пусть М – большее, а m – наименьшее значение функции f(х) на отрезке [x, x + h]. Тогда рассмотренная прослойка тела содержит цилиндр с радиусом m и высотой h и находится в цилиндре с радиусом М и той же высотой h. Поэтому

При стремлении высоты h к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине πf ²(x). Средняя ж часть этого неравенства при стремлении h к 0 стремится к производной

V'(x) функции V(x). Виходить,

V'(x) = πf ²(x).

По известной формуле

Эта формула и даёт объём части тела, заключённого между параллельными плоскостями х = а и х = b.

Формула Симпсона.

Если плоскость сечения S(x) тела Т перпендикулярная к оси Ох, то функция х имеет вид

S(x) = αx² + βx + γ,

и объём такого тела, которое находится между плоскостями

х = а и х = b,

равен:

Обозначим площади сечений:

Тогда полученное ранее виражение для вычисления объёма тела Т можно представить в виде:

Эту формулу называют формулой Симпсона.

С помощью формулы Симпсона легко получить выражения для вычисления объёмов тел, сечения которых плоскостью, перпендикулярной оси Ох, можно представить в виде:

S(х) = αх² + βх + γ.

Например, это объёмы шара, пирамиды, конуса, так как соответствующие сечения этих тел соответствуют указанному условию.

ПРИМЕР:

Для шара радиуса R имеем:

a = –R, b = R,

S(a) = S(b) = 0,
S_c = πR²,

ПРИМЕР:

В случае пирамиды:

a = 0, b = H,
S(a) = S₀,
S_c = (¹/₂)²S₀,

С помощью формулы Симпсона удобно решать задачи на вычисление объёмов частей тел, которые ограничены параллельными сечениями.

ПРИМЕР:

В случае усечённого конуса (с радиусами оснований R и r, высотой h) имеем:

a = 0, b = h,
S(a) = πR²,
S(b) = πr²,

Заметим, что при вычислении S_c, мы воспользовались тем, что осевым сечением усечённого конуса является трапеция, средняя линия которой равняется диаметру сечения этого конуса плоскостью

ЗАДАЧА:

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны а и b, вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Прямоугольный ∆ABC (∠ C = 90°) вращается вокруг прямой

OO₁ ∥ AB.

Точка С лежит на прямой OO₁. Найти площадь поверхности тела вращения, если

АС = b и ВС = а.

Поверхность тела вращения будет состоять из боковой поверхности цилиндра ABDE и боковых поверхностей конусов ACE и BCD. Образующую цилиндра найдём из данного треугольника:

а радиусы оснований конусов и цилиндров, которые равны между собой, определим из ∆ABC:

CF × AB = AC × CB.

Обозначив CF через R, найдём

Тогда поверхность тела вращения

ОТВЕТ:

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Сторона ОО₁, вокруг которой вращается трапеция, называется осью усечённого конуса, а вторая боковая сторона АВ трапеции – касательной усечённого конуса. Основания трапеции будут соответственно радиусами нижнего и верхнего основания усечённого конуса:

ОА = R, ВО₁ = r.

Поверхность, полученную вращением большой стороны АА₁ трапеции ОО₁А₁А называют боковой поверхностью усечённого конуса.

Каждый отрезок этой поверхности (а также его длина), который соединяет ближайшие точки окружностей оснований усечённого конуса, называют образующими усечённого конуса. АА₁ и ВВ₁ – образующие усечённого конуса. Они равны между собой.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг его диаметра как оси.

Если ось вращения совпадает с радиусом, который ограничивает круговой сектор АОС, то полученный от вращения шаровой сектор называется простым, а если ось вращения не совпадает с радиусом, который ограничивает круговой сектор СОD, то шаровой сектор называется полупустым.

Объём тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси.

Объём тела, описываемого плоской фигурой при вращении её вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей её, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой площади:

V_{тела об} = 2πSd_c,

где S – площадь вращающейся фигуры, а d_c– расстояние от центра тяжести фигуры до оси вращения.

Если ∆ АВС вращается вокруг оси МN, которая лежит в плоскости

треугольника, проходит через его вершину А, но не пересекает стороны ВС, то объём тела, полученного при этом вращении, равен произведению поверхности S_ВС, образуемой противоположной стороной ВС, на одну треть высоты треугольника, опущенной на эту сторону, то есть

Объём шарового сектора и шара.

Объём шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра МN кругового сектора АОВ, есть предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольника, ограниченного радиусами ОА и ОВ и правильной ломаной линией АСDВ.

Эта ломаная вписана в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается (и, следовательно, длина каждой из сторон АС, СD, … стремится к нулю).

Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или шарового сегмента) на треть радиуса:

где R – радиус шарового сектора, а Н – высота шарового пояса (сегмента).

Объём шара равен произведению его поверхности на треть радиуса:

где R – радиус шара, D – диаметр шара.

Формулу для объёма шара получаем, положив в формуле для объёма шарового сектора

Н = 2R.

Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота цилиндра равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, то есть

где h – высота сегмента, а R – радиус шара.

ЗАДАЧА:

Объём тела вращения, которое имеет высоту 12 см и основаниями которого являются окружности радиусами 1 см и 4 см, равен 600 см³. Известно, что сечение полученного тела вращения соответствует условию