Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 1. Отношение величин

ВИДЕО УРОК
Отношение величин приходится находить при решении множества самых разнообразных задач. Это способ сопоставления однородных величин, который состоит в том, что при сравнении величин стараются ответить на вопрос во сколько раз одна из них больше другой.

Отношение чисел.

Как уже отмечалось, частное от деления одного числа на другое называется также их отношением. Таким образом, частное и отношение обозначают одно и то же понятие. Однако, когда говорят <<частное>>, имеют в виду одно число, полученное в результате деления двух данных чисел. Когда же говорят <<отношение>>, имеют в виду пару чисел, соединённых знаком деления.

ПРИМЕР:

Если разделить 10 на 2, получим:

10 : 2 = 5.

В данном случае говорят, что частное от деления 10 на 2 равно 5, говорят также, что отношение 10 к 2 равно 5. Но само отношение данных чисел записывают в виде 10 : 2, или ¹⁰/₂. Понятно, что числа 10 : 2 и 5 равны, поэтому и говорят, что отношение – то же самое, что и частное.

ПРИМЕР:

Цена – это отношение стоимости товара к количеству единиц. Если за 5 кг яблок заплатили 100 руб, то цена товара будет отношением 100 к 5, то есть

100 : 5 = 20.

ПРИМЕР:

²/₈ – это отношение показывает, что 2 составляет ¹/₄ часть от 8, так как:

²/₈ = ¹/₄.

⁴/₂₀ – это отношение показывает, что 4 составляет ¹/₅ часть от 20, так как:

⁴/₂₀ = ¹/₅ = 0,2.

Отношением называется число, которое показывает, во сколько раз одна величина больше другой, или какую часть одна величина составляет от другой.

Для обозначения отношения используют дробную черту или двоеточие – деления (:). В общем виде отношение записывают так:

Числа a і b называются членами отношения. Первый член a называется предыдущим, а второй член b – последующим.

ПРИМЕР:

В отношении

4 : 5,

число 4 есть предыдущий член, 5 – последующий.

Так как отношение двух чисел с помощью деления, то для него справедливы все свойства частного.

Основное свойство отношения.

Значение отношения не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Членами отношения могут быть любые числа, только последующий член не может быть равен нулю. Поэтому возможны и такие отношения:

Чтобы найти отношение одноименных величин (длин, масс и т. д.), необходимо выразить их в одной и той же единице измерения – в противном случае полученный результат для сравнения величин использовать нельзя.

ПРИМЕР:

Найти отношения 73 см к 2,92 м:

Сокращение членов отношения и замена отношения дробных чисел отношением целых чисел.

Используя основное свойство отношения, выполняем два преобразования:

– сокращение членов отношения;

– замену отношения дробных чисел отношением целых чисел.

Как это выполняется, видно из следующих примеров.

ПРИМЕР:

Сократить члены отношения:

48 : 32 = 3 : 2.

ПРИМЕР:

Заменить отношение дробных чисел отношением целых чисел:

1¹/₂ : ²/₃ = ³/₂ : ²/₃

= ⁹/₆ : ⁴/₆ = 9 : 4.

Мы привели дроби к общему знаменателю, а затем умножили предыдущий и последующий члены отношения на их общий знаменатель (на 6).

При сравнении величин мы можем найти два таких отношения, в которых предыдущий член одного будет следующим членом другого и наоборот. Такие два отношения называются обратными. Произведение обратных отношений равно единицы.

Отношение величин.

Отношение однородных величин равно отношению чисел, получающихся при измерении этих величин одной и той же единицей; оно не зависит от выбора единицы измерения.

Иногда говорят об отношении разнородных величин. Например, говорят об отношении пути ко времени, массы к объёму и т. д. отношение разнородных величин есть величина. Так, отношение пути ко времени есть скорость, отношение массы к объёму – плотность и т. д. значение отношения разнородных величин зависит от выбора единицы измерения.

ПРИМЕР:

Если путь равен 20 м, а время, затраченное на его прохождение, равно 5 сек, то отношение пути ко времени равно 4 м/сек. Оно выражает скорость движения в м/сек. Если тот же путь измерить в километрах, а время – в часах, то отношение пути ко времени будет равно:

0,02 : ¹/₇₂₀ = 14,4 (км/час).

Оно выражает ту же скорость в км/час:

4 м/сек = 14,4 км/час.

ЗАДАЧА:

Найдите отношение величин:

1,2 м и 40 см.

РЕШЕНИЕ:

Прежде чем искать отношения величин, приведём все члены к одной и той же единице измерения. Переведём метры в сантиметры. В 1 м 100 см. Поэтому, чтобы перевести 1,2 м в сантиметры, умножим 1,2 на 100.

1,2 ∙ 100 = 120 см.

Теперь найдём отношение величин 120 и 40:

¹²⁰/₄₀ = ³/₁.

Итак, 1,2 м относится к 40 см, как 3 относится к 1.

ЗАДАЧА:

Найдите отношение величин:

2 кг и 500 г.

РЕШЕНИЕ:

Прежде чем искать отношения величин, приведём все члены к одной и той же единице измерения. Переведём килограммы в граммы. В 1 кг 1000 г. Поэтому, чтобы перевести 2 килограмма в граммы, умножим 2 на 1000.

2 ∙ 1000 = 2000 г.

Теперь найдём отношение величин 2000 и 500:

²⁰⁰⁰/₅₀₀ = ⁴/₁.

Итак, 2 кг относится к 500 г, как 4 относится к 1.

ЗАДАЧА:

Найдите отношение величин:

50 см и 2 дм.

РЕШЕНИЕ:

Прежде чем искать отношения величин, приведём все члены к одной и той же единице измерения. Переведём дециметры в сантиметры. В 1 дм 10 см. Поэтому, чтобы перевести 4 дециметра в сантиметры, умножим 4 на 10.

4 ∙ 10 = 40 см.

Теперь найдём отношение величин 50 и 40:

⁵⁰/₄₀ = ⁵/₄.

Итак, 50 см относятся к 4 дм, как 5 относится к 4.

ЗАДАЧА:

Количество шоколадных конфет, которые находятся в пакете, относятся до количества карамелек как 3 : 5. Укажите число, которым может быть выражено количество шоколадных конфет и карамелек.

25; 32; 30; 36.

РЕШЕНИЕ:

Пусть 3х – количество шоколадных конфет, тогда 5х кг – количество карамелек.

3х + 5х = 8х.

Поэтому, количество конфет должно быть кратно 8, то есть 32 конфеты

ЗАДАЧА:

На 200 руб можно купить 4 кг яблок. Сколько килограммов картошки можно купить на эти деньги, если картофель в 5 раз дешевле яблок ?

РЕШЕНИЕ:

1 способ решения.

Если 4 кг яблок стоят 200 руб, то можно узнать, сколько стоит 1 кг яблок. Для этого всю стоимость (200 руб) разделим на количество килограммов (4 кг).

200 : 4 = 50 (руб).

50 рублей стоит 1 килограмм яблок. Но так как картофель дешевле яблок в 5 раз, то цена 1 кг картофеля будет:

50 руб : 5 = 10 руб.

Тогда на 200 руб можно купить картофеля

200 : 10 = 20 (кг).

ОТВЕТ: на 200 руб можно купить 20 кг картофеля.

2 способ решения.

Если картофель дешевле яблок в 5 раз, а яблок можно купить на 200 рублей 4 кг, значит, картофеля можно купить в 5 раз больше:

4 кг ∙ 5 = 20 кг.

ОТВЕТ:

на 200 руб можно купить 20 кг картофеля.

ЗАДАЧА:

Масса ящика с огурцами составляет 36 кг. Масса пустого ящика равна 2 кг 400 г. Найдите отношение огурцов к массе ящика.

РЕШЕНИЕ:

Если ящик с огурцами весит 36 кг, а пустой ящик весит 2 кг 400 г, то можно найти вес огурцов:

36 кг – 2 кг 400 г = 33 кг 600 г.

Переведём значения, выраженные в килограммах и граммах в килограммы:

33 кг 600 г = 33,6 кг,

2 кг 400 г = 2,4 кг.

Теперь найдём отношение массы огурцов к массе пустого ящика:

33,6 : 2,4 = 14.

ЗАДАЧА:

В школьную библиотеку привезли новые учебники для 7-9 классов, по 125 штук для каждого класса. Все книги имеют одинаковый размер. В книжном шкафу 6 полок. На каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками.

РЕШЕНИЕ;

Так как классов всего 3 (7, 8, 9 классы), и каждому классу привезли по 125 учебников, то можно узнать, сколько всего привезли учебников в библиотеку.

125 ∙ 3 = 375 штук

375 учебников привезли в библиотеку, следовательно, 375 учебников нужно разместить в книжном шкафу.

Так как в книжном шкафу 6 полок и на каждую полку помещается 20 учебников, то можно узнать, сколько учебников помещается в книжном шкафу.

20 учебников ∙ 6 = 120 учебников.

Так как мы определили количество учебников, которые нужно разместить в книжном шкафу (375 учебников), и известно сколько учебников помещается в один шкаф, то можно узнать сколько шкафов потребуется для размещения этих учебников. Для этого количество всех учебников разделим на число учебников, которое помещается в один шкаф.

375 : 120 = 3 (остаток 15).

ЗАДАЧА:

Туристическая путёвка стоит 45000 рублей. В стоимость путёвки входит проезд и проживание. Проезд стоит 9000 рублей. Какую часть от всей стоимости путёвки составляет проживание ?

РЕШЕНИЕ:

Если путёвка стоит 45000 рублей, а проезд 9000 рублей, то от стоимости путёвки нужно отнять стоимость проживания. Таким образом мы узнаем стоимость проживания:

45000 – 9000 = 36000 руб.

Чтобы определить, какую часть от всей стоимости путёвки составляет проживание, найдём отношение стоимости проживания к общей стоимости путёвки.
ОТВЕТ:

Проживание составляет 0,8 часть от общей стоимости путёвки

Задания к уроку 1

Другие уроки:

Урок 2. Пропорции

Урок 3. Величины прямо пропорциональные

Урок 4. Величины обратно пропорциональные

Урок 5. Пропорциональное деление

Урок 6. Проценты

Урок 7. Нахождение процентов данного числа (задачи)

Урок 8. Нахождение числа по его процентам (задачи)

Урок 9. Нахождение процентного отношения двух чисел (задачи)

Урок 10. Простые и сложные проценты