Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 21 марта 2016 г.

Урок 4. Множества

Постоянные и переменные величины.

Наблюдая какой-либо процесс, можно заметить, что одни величины, встречающиеся в нём, изменяют своё значение, другие – не изменяют.

Величины, которые в данном процессе всё время сохраняют одно и то же значение, называют постоянными.
Величины, значения которых в данном процессе изменяются, называют переменными.

ПРИМЕР:

Во время взлёта самолёта расстояние его от поверхности земли увеличивается, количество бензина в баках уменьшается, а число пассажиров, длина самолёта остаются постоянными.

Одна и та же величина в одном процессе может быть постоянной, а в другом – переменной. Однако, есть и такие величины, которые остаются постоянными всё время.

ПРИМЕР:

Отношение длины окружности к её радиуса.
Сумма углов треугольника.
Температура кипения воды.

Такие величины называют константами.
Обычно постоянные величины обозначают первыми буквами латинского алфавиту:

a,  b,  c,  d,

а переменные – последними: 

x,  y,  z.

Изменяясь, переменная величина не всегда может принимать произвольные значения, а только такие значения, которые находятся в некоторых допустимых для неё пределах. Все те значения, которые величина может принимать в конкретных условиях рассматриваемого процесса, называются допустимыми значениями для данной переменной величины.

Соответствие между множествами.

ПРИМЕР:

 На рисунке изображены множества  А – (извозчик; лётчик; шофёр; космонавт) и  В – (легковой автомобиль; грузовик; самолёт; космический корабль; паровоз). Точки внутри замкнутой линии изображают элементы этих множеств.
От некоторых элементов множества  А  проведены стрелки к элементам множества  В. Будем считать, что элементу множества  А  соответствует тот элемент множества  В, к которому от него проведена стрелка. Шофёру соответствует легковой автомобиль, ему же соответствует грузовик, лётчику соответствует самолёт, космонавту – космический корабль. Для извозчика в множестве  В  нет соответствующего элемента, а в множестве  А  нет элемента, которому соответствует паровоз. Говорят, что между множеством  А  и  множеством  В  установлено соответствие.

ПРИМЕР:

Мальчики Коля, Валя, Женя и Саша составили график дежурства на неделю:
С помощью этого графика мы можем узнать, в какие дни недели дежурит каждый из мальчиков. Можно сказать, что график дежурств устанавливает соответствие между множеством мальчиков: 

{Коля;  Валя;  Женя;  Саша}.

 И множеством дней недели:

 {пн.;  вт.;  ср.; чт.; пт.; сб.; вс.}.

Это соответствие можно изобразить с помощью стрелок.
Каждую стрелку можно заменить парой, указав на первом месте элемент множества  М, стоящий в начале стрелки, а на втором месте – элемент множества  К, стоящий в конце стрелки.

(Коля; пн.),  (Валя; вт.),  (Валя; пт.), 

(Женя; ср.),  (Женя; сб.),  (Саша; чт.),

 ПРИМЕР:

Каждому двузначному числу, принадлежащему множеству 

А = {25; 36; 42; 54; 61},

поставим в соответствие сумму его цифр:

25  7,  36  9;  42  6,  54  9,  61  7.

На рисунке показано соответствие между множеством  А  и множеством  В, где

В = {7; 9; 6},

заданное с помощью стрелок.

ПРИМЕР:

Даны два множества:

А = {–18; –3; 43; 256}, В = {0; 1}

Установить какое-нибудь соответствие:

–  между множеством  А  и множеством  В;

–  между множеством  В  и множеством  А.

Эта задача не определена, потому что между данными множествами можно установить очень много разных соответствий.

Приведем два примера соответствий между  А  и  В  (рис. 1, 2) и два между  В  и  А (рис. 3, 4).
Соответствия между множествами можно изображать не только так, как на  Рис. 1 – 4
В частности, соответствие, поданное на  Рис. 2  можно изобразить и по другому:
или
или
Можно и не рисовать стрелок, а написать только упорядоченные пары соответствующих элементов 

(–18; 0),  (–3; 1),  (43; 1),  (256; 0),

или воспользоваться табличным заданием соответствия:
ПРИМЕР:

Между двумя множествами можно установить различные соответствия. На рисунке показаны соответствия между множествами:

Х = {18; 15; 27; 39}

и

Y = {1; 2; 3}.


Чтобы отличать одно соответствие от другого, их обозначают буквами. Первое соответствие обозначено буквой  f, второе – буквой  p, третье буквой  q.

 Совокупность всех точек числовой оси, заключённых между двумя какими-нибудь точками этой оси, называется промежутком. 

 Крайние точки промежутка называются концами промежутка.
Промежуток со включением его концов называется замкнутым или закрытым промежутком, а также отрезком или сегментом. Обозначается: 

от  –1  до  +1  или  [–1; 1].

Промежуток без включения его концов называется открытым промежутком или интервалом.
Обозначается: 

(–1; 1). 

Если один конец присоединяется к промежутку, а другой нет, то такой промежуток, открытый с одной стороны и закрытый с другой, называется полуоткрытым промежутком или полуинтервалом.
Обозначается:

(–1; 1]   или  [–1; 1).

Объединение множеств.

Объединением двух множеств  А  и  В  называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств  А  и  В.

Объединением или суммой этих множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из слагаемых. При этом, даже если элемент принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму лишь один раз.
Объединение  А  и  В  обозначается так:

А ∪ В.

ПРИМЕР:

Объединением отрезков 

[0; 2]  и  [1; 3]  будет отрезок 
[0; 3].

Пересечение множеств.

Пересечением или общей частью множеств называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам. Если пересечение множеств пусто, то говорят, что эти множества не пересекаются.
Пересечение  А  и  В  обозначается так:

А ∩ В.

ПРИМЕР:

Пересечением отрезков 

[0; 2]  и  [1; 3]  будет отрезок 
[1; 2].

Пустое множество.

Пустое множество – множество не содержащее ни одного элемента.
Пустое множество обозначается так:

∅.

Ни одно множество не является элементом пустого множества. Пустое множество является подмножеством любого множества. Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему. Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству.

 Задания к уроку 4
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий