Урок 26. График функции у = a(х – m)2 + n | Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 3 июля 2018 г.

Урок 26. График функции у = a(х – m)2 + n

Рассмотрим преобразование графика функции у = f(х). Это построение графика функции

у = f(х – m).

График функции у = f(х – m) получается из графика функции у = f(х) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на m единиц. Вправо при m > 0 и влево при m < 0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = (х + 1)².

РЕШЕНИЕ:

Запишем функцию в виде

у = (х – (–1))².

Тогда график функции

у = (х + 1)²

получается из графика функции у = х² параллельным переносом вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево, т. к. m = – 1 < 0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = 2(х – 6)².

РЕШЕНИЕ:

Это значит, что парабола, которая является графиком функции у = 2х² , перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси х (на графике – красная парабола).

Из предыдущих преобразований следует, что график функции

у = f (х – m) + n

получается из графика функции

у = f(х)

с помощью двух параллельных переносов: сдвиг вдоль оси абсцисс на m единиц (вправо при m > 0 и влево при m < 0) и сдвига вдоль оси ординат на n единиц (вверх при n > 0 и вниз при n < 0). Эти сдвиги можно выполнить в любом порядке: сначала вдоль оси абсцисс, а затем вдоль оси ординат или наоборот.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = –0,5(х – 2)² + 1.

РЕШЕНИЕ:

Очевидна следующая последовательность преобразований графика:

строим график функции

у = х².

Получаем из него график функции

у = –х²

(преобразование первое – симметрия относительно оси абсцисс).

Строим график функции

у = –0,5х²

(преобразование второе – сжатие предыдущего графика в два раза вдоль оси ординат).

Получаем из него график функции

у = –0,5х² + 1

(преобразование третье – сдвиг на одну единицу вверх);

Строим график функции

у = –0,5(х –2)² + 1

(преобразование четвёртое – сдвиг предыдущего графика на две единицы вправо).

После выполнения этих построений получаем окончательный график (на рисунке приведены: начальный этап построения – график функции у = х² и конечный этап – график

у = –0,5(х – 2)² + 1.

Графиком функции

у = a(х – m)² + n

является парабола, конгруэнтная параболе

у = aх²,

вершиной которой служит точка с координатами

(m; n),

а осью симметрии – прямая

х = m.

При а ˃ 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 – вниз.

ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = 2(х – 4)² + 3.

РЕШЕНИЕ:

Шаг 1.

Строим график функции

у = х².

Шаг 2.

Растяжением графика функции у = х² от оси Ох в 2 раза, получим график функции

у = 2х².

Шаг 3.

Осуществляем перенос этого графика параллельно оси абсцисс, справа на 4 единицы масштаба. Получим график функции

у = 2(х – 4)².

Шаг 4.

Выполним перенос последнего графика параллельно оси ординат вверх на 3 единицы масштаба. Получим график функции

у = 2(х – 4)² + 3.

ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = 0,5(х + 2)² – 4.

РЕШЕНИЕ:

Шаг 1.

Строим график функции

у = х².

Шаг 2.

Сжатием графика функции у = х² к оси абсцисс в 2 раза, получим график функции

у = 0,5х².

Шаг 3.

Осуществляем перенос этого графика параллельно оси абсцисс слева на 2 единицы масштаба. Получим график функции

у = 0,5(х + 2)².

Шаг 4.

Выполним перенос последнего графика параллельно оси ординат вниз на 4 единицы масштаба. Получим график функции

у = 0,5(х + 2)² – 4.

ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = –3(х + 1)² + 3,5.

РЕШЕНИЕ:

Шаг 1.

Строим график функции

у = х².

Шаг 2.

Растяжением графика функции у = х² к оси абсцисс в 3 раза, получим график функции

у = 3х².

Шаг 3.

Выполним симметричное отображение графика по отношению к оси Ох. Получим график функции

у = –3х².

Шаг 4.

Осуществляем перенос этого графика параллельно оси абсцисс слева на 1 единицы масштаба. Получим график функции

у = –3(х + 1)².

Шаг 5.

Выполним перенос последнего графика параллельно оси ординат вверх на 3,5 единицы масштаба. Получим график функции

у = –3(х + 1)² + 3,5.

ПРИМЕР:

Какое наименьшее значение приобретает выражение

(х + 4)(х² – 4х + 16) – (х²– 6)(х – 1)

и при каком значении х ?

РЕШЕНИЕ:

(х + 2)(х² – 2х + 6) – (х²– 6)(х – 1) =

= х³ – 2х² + 6х + 2х² – 4х + 12 – х³ + х² + 6х – 6 =

= 6х – 4х + 12 + х² + 6х – 6 =

= х² – 8х + 6 = х² + 8х + 16 – 10 =

= (х + 4)² – 10.

Графический способ решения.

Построим график функции:

у = (х + 4)² – 10.

Из графика видно, что данная функция приобретает наименьшее значение при х = –4 и у = –10.

Аналитический способ решения.

Данное выражение приобретает наименьшее значение, когда х + 4 = 0, то есть когда х = –4. Это значение равно –10.

ОТВЕТ: наименьшее значение выражения равно –10 при х = –4.

ПРИМЕР:

Исследовать на экстремум функцию

у = х² – 2х + 5.

РЕШЕНИЕ:

у = х² – 2х + 5 =

= х² – 2х + 1 + 4 =

= (х – 1)² + 4.

Графический способ решения.

Построим график функции:

у = (х – 1)² + 4.

Из графика видно, что данная функция в точке х = 1 имеет минимум. Максимума функция не имеет.

Аналитический способ решения.

Выражение

(х – 1)²

всегда положительно и только при х = 1 равно нулю.

Следовательно, в точке х = 1 данная функция имеет минимум. Максимума функция не имеет.

Задания к уроку 26

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 3 июля 2018 г.