вторник, 3 июля 2018 г.

Урок 26. График функции у = a(х – m)2 + n

Рассмотрим преобразование графика функции  у = f(х). Это построение графика функции

у = f(х – m).

График функции  у = f(х – m)  получается из графика функции  у = f(х)  с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на  m  единиц. Вправо при  m > 0  и влево при  m < 0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = (х + 1)2. 

РЕШЕНИЕ:

Запишем  функцию в виде

у = (х – (–1))2. 

Тогда график функции

у = (х + 1)2 

получается из графика функции  у = х2  параллельным переносом вдоль оси абсцисс на  1  единицу влево, т. к.  m = – 1 < 0.
ПРИМЕР:

Построим график функции

у = 2(х – 6)2. 

РЕШЕНИЕ:

Это значит, что парабола, которая является графиком функции у = 2х2 , перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси  х  (на графике – красная парабола).
Из предыдущих преобразований следует, что график функции

у = f (х – m) + n

получается из графика функции

у = f(х)

с помощью двух параллельных переносов: сдвиг вдоль оси абсцисс на  m   единиц (вправо при  m > 0  и влево при  m < 0) и сдвига вдоль оси ординат на  n  единиц (вверх при  n > 0  и вниз при  n < 0). Эти сдвиги можно выполнить в любом порядке: сначала вдоль оси абсцисс, а затем вдоль оси ординат или наоборот.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = –0,5(х – 2)2 + 1. 

РЕШЕНИЕ:

Очевидна следующая последовательность преобразований графика:
строим график функции  

у = х2.

Получаем из него график функции 

у = –х2  

(преобразование первое – симметрия относительно оси абсцисс).
Строим график функции  

у = –0,5х2 

(преобразование второе – сжатие предыдущего графика в два раза вдоль оси ординат).
Получаем из него график функции  

у = –0,5х2 + 1 

(преобразование третье – сдвиг на одну единицу вверх);
Строим график функции  

у = –0,5(х –2)2 + 1  

(преобразование четвёртое – сдвиг предыдущего графика на две единицы вправо).
После выполнения этих построений получаем окончательный график (на рисунке приведены: начальный этап построения – график функции  у = х2  и конечный этап – график  

 у = –0,5(х – 2)2 + 1.
Графиком функции

у = a(х – m)2 + n

является парабола, конгруэнтная параболе

у = aх2,

вершиной которой служит точка с координатами

(m; n),

а осью симметрии – прямая 

х = m.

При  а ˃ 0  ветви параболы направлены вверх, а при  а < 0 – вниз. 

ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = 2(х – 4)2 + 3.

РЕШЕНИЕ:

Шаг 1.

Строим график функции

у = х2.
Шаг 2.

Растяжением графика функции  у = х2  от оси  Ох  в  2 раза, получим график функции

у = 2х2.
Шаг 3.

Осуществляем перенос этого графика параллельно оси абсцисс, справа на  4  единицы масштаба. Получим график функции

у = 2(х – 4)2.
Шаг 4.

Выполним перенос последнего графика параллельно оси ординат вверх на  3  единицы масштаба. Получим график функции

у = 2(х – 4)2 + 3.
ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = 0,5(х + 2)2 – 4.

РЕШЕНИЕ:

Шаг 1.

Строим график функции

у = х2.
Шаг 2.

Сжатием графика функции  у = х2  к оси абсцисс в  2 раза, получим график функции

у = 0,5х2.
Шаг 3.

Осуществляем перенос этого графика параллельно оси абсцисс слева на  2 единицы масштаба. Получим график функции

у = 0,5(х + 2)2.

Шаг 4.

Выполним перенос последнего графика параллельно оси ординат вниз на  4 единицы масштаба. Получим график функции

у = 0,5(х + 2)2 – 4.
ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = –3(х + 1)2 + 3,5.

РЕШЕНИЕ:

Шаг 1.

Строим график функции

у = х2.
Шаг 2.

Растяжением графика функции  у = х2  к оси абсцисс в 3 раза, получим график функции

у = 3х2.
Шаг 3.

Выполним симметричное отображение графика по отношению к оси  Ох. Получим график функции

у = –3х2.
Шаг 4.

Осуществляем перенос этого графика параллельно оси абсцисс слева на  1 единицы масштаба. Получим график функции

у = –3(х + 1)2.
Шаг 5.

Выполним перенос последнего графика параллельно оси ординат вверх на  3,5 единицы масштаба. Получим график функции

у = –3(х + 1)2 + 3,5.
ПРИМЕР:

Какое наименьшее значение приобретает выражение

(х + 4)(х2 – 4х + 16) – (х2 – 6)(х – 1)

и при каком значении  х ?

РЕШЕНИЕ:

(х + 2)(х2 – 2х + 6) – (х2 – 6)(х – 1) =

= х3 – 2х2 + 6х + 2х2 – 4х + 12 – х3 + х2 + 6х – 6 =

= 6х – 4х + 12 + х2 + 6х – 6 =

= х2 – 8х + 6 = х2 + 8х + 16 – 10 =

= (х + 4)2 – 10.

Графический способ решения.

Построим график функции:

у = (х + 4)2 – 10.
Из графика видно, что данная функция приобретает наименьшее значение при  х = –4  и  у = –10.

Аналитический способ решения.

Данное выражение приобретает наименьшее значение, когда  х + 4 = 0, то есть когда  х = –4. Это значение равно  –10.

ОТВЕТ:  наименьшее значение выражения равно  –10  при  х = –4.

ПРИМЕР:

Исследовать на экстремум функцию 

у = х2 – 2х + 5.

РЕШЕНИЕ:

у = х2 – 2х + 5 =

= х2 – 2х + 1 + 4 = 

= (х – 1)2 + 4.

Графический способ решения.

Построим график функции:

у = (х – 1)2 + 4.
Из графика видно, что данная функция в точке  х = 1  имеет минимум. Максимума функция не имеет.

Аналитический способ решения.

Выражение 

(х – 1)2

всегда положительно и только при  х = 1  равно нулю.

Следовательно, в точке х = 1 данная функция имеет минимум. Максимума функция не имеет.

Задания к уроку 26
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)