Урок 29. Функция y = хn и её график

суббота, 18 августа 2018 г.

Урок 29. Функция y = хn и её график

СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

График степенной функции.

Степенная функция с показателем равным нулю, р = 0.

Если показатель степенной функции у = х^р равен нулю, р = 0, то степенная функция определена для всех х ≠ 0 и является постоянной, равной единице.

у = х^р = х⁰ = 1, х ≠ 0.

Степенная функция с натуральным нечётным показателем,

n = 1, 3, 5, ….

Рассмотрим степенную функцию

y = х^р = хⁿ

c натуральным нечётным показателем степени

n = 1, 3, 5, … .

Такой показатель также можно записать в виде:

n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, … – целое не отрицательное.

График степенной функции y = хⁿ с натуральным нечётным показателем при различных значениях показателя степени

n = 1, 3, 5, … .

Область определения: –∞ < х < +∞

Множество значений: –∞ < у < +∞

Чётность: нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность: монотонно возрастает

Экстремумы: нет

Выпуклость: при –∞ < х < 0 выпукла вверх,

при 0 < х < ∞ выпукла вниз

Точки перегибов: х = 0, у = 0

Точки пересечения с осями координат: х = 0, у = 0

Обратная функция:

при n = 1, функция является обратной к самой себе: х = у

при n ≠ 1, обратной функцией является корень степени n:

Степенная функция с натуральным чётным показателем,

n = 2, 4, 6, ….

Рассмотрим степенную функцию

y = х^р = хⁿ

c натуральным чётным показателем степени

n = 2, 4, 6, … .

Такой показатель также можно записать в виде:

n = 2k, где k = 1, 2, 3, … – натуральное.

График степенной функции y = хⁿ с натуральным чётным показателем при различных значениях показателя степени

n = 2, 4, 6, … .

Область определения: –∞ < х < +∞

Множество значений: 0 ≤ у < +∞

Чётность: чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность:

при х < 0 монотонно убывает

при х ˃ 0 монотонно возрастает

Экстремумы: минимум х = 0, у = 0

Выпуклость: выпукла вниз

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: х = 0, у = 0

Обратная функция:

при n = 2, квадратный корень:

при n ≠ 2, корень степени n:

Степенная функция с целым отрицательным показателем

n = –1, –2, –3, … .

Рассмотрим степенную функцию

y = х^р = хⁿ

с целым отрицательным показателем степени n = –1, –2, –3, … .

Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, … – натуральное, то её можно представить в виде:

График степенной функции y = хⁿ с целым отрицательным показателем

n = –1, –2, –3, … .

Нечётный показатель, n = –1, –3, –5, … .

Область определения: х ≠ 0

Множество значений: у ≠ 0

Чётность: нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность: монотонно убывает

Экстремумы: нет

Выпуклость: при х < 0; выпукла вверх

при х ˃ 0; выпукла вниз

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: нет

Обратная функция:

Чётный показатель, n = –2, –4, –6, … .

Область определения: х ≠ 0

Множество значений: у ˃ 0

Чётность: нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность: при х < 0; монотонно возрастает

при х ˃ 0; монотонно убывает

Экстремумы: нет

Выпуклость: выпукла вниз

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: нет

Обратная функция:

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем.

Рассмотрим степенную функцию

y = x^p

с рациональным (дробным) показателем степени

где n – целое, m ˃ 1 – натуральное. Причём, n, m не имеет общих делителей.

Знаменатель дробного показателя – нечётный.

Пусть знаменатель дробного показателя степени

нечётный m = 3, 5, 7, … . В этом случае, степенная функция x^p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента х.

Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель р находится в определённых пределах.

Показатель р отрицательный, р < 0.

Пусть рациональный показатель степени (с нечётным знаменателем m = 3, 5, 7, … .) меньше нуля

Графики степенных функций

с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени

где m = 3, 5, 7, … – нечётное.

Нечётный числитель, n = –1, –3, –5, … .

Приводим свойства степенной функции y = х^р с рациональным отрицательным показателем

где n = –1, –3, –5, … – нечётное отрицательное целое, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения: х ≠ 0

Множество значений: у ≠ 0

Чётность: нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность: монотонно убывает

Экстремумы: нет

Выпуклость: при х < 0; выпукла вверх

при х ˃ 0; выпукла вниз

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: нет

Обратная функция:

Чётный числитель, n = –2, –4, –6, … .

Свойства степенной функции y = х^р с рациональным отрицательным показателем

где n = –2, –4, –6, … – чётное отрицательное целое, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения: х ≠ 0

Множество значений: у ˃ 0

Чётность: чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность: при х < 0; монотонно возрастает

при х ˃ 0; монотонно убывает

Экстремумы: нет

Выпуклость: выпукла вниз

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: нет

Обратная функция:

Показатель р положительный, меньше единицы, 0 < р < 1.

График степенной функции

с рациональным показателем (0 < р < 1) при различных значениях показателя степени

где m = 3, 5, 7, … – нечётное.

Нечётный числитель, n = 1, 3, 5, … .

Представлены свойства степенной функции y = х^р с рациональным показателем

находящимся в пределах 0 < р < 1, где n = 1, 3, 5, … – нечётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения: –∞ < х < +∞

Множество значений: –∞ ≤ у < +∞

Чётность: нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность: монотонно возрастает

Экстремумы: нет

Выпуклость: при х < 0; выпукла вниз

при х ˃ 0; выпукла вверх

Точки перегибов: х = 0, у = 0

Точки пересечения с осями координат: х = 0, у = 0

Обратная функция:

Чётный числитель, n = 2, 4, 6, … .

Представлены свойства степенной функции y = х^р с рациональным показателем

находящимся в пределах 0 < р < 1, где n = 2, 4, 6, … – чётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения: –∞ < х < +∞

Множество значений: 0 ≤ у < +∞

Чётность: чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность: при х < 0; монотонно убывает

при х ˃ 0; монотонно возрастает

Экстремумы: минимум при х = 0, у = 0

Выпуклость: выпукла вверх при х ≠ 0

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: х = 0, у = 0

Обратная функция:

Показатель р больше единицы, р ˃ 1.

График степенной функции

с рациональным показателем (р ˃ 1) при различных значениях показателя степени

где m = 3, 5, 7, … – нечётное.

Нечётный числитель, n = 5, 7, 9, … .

Свойства степенной функции y = х^р с рациональным показателем, большим единицы

где n = 5, 7, 9, … – нечётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения: –∞ < х < +∞

Множество значений: –∞ < у < +∞

Чётность: нечётная, у(–х) = –у(х)

Монотонность: монотонно возрастает

Экстремумы: нет

Выпуклость: –∞ < х < 0 выпукла вверх

0 < х < +∞ выпукла вниз

Точки перегибов: х = 0, у = 0

Точки пересечения с осями координат: х = 0, у = 0

Обратная функция:

Чётный числитель, n = 4, 6, 8, … .

Свойства степенной функции y = х^р с рациональным показателем, большим единицы

где n = 4, 6, 8, … – чётное натуральное, m = 3, 5, 7, … – нечётное натуральное.

Область определения: –∞ < х < +∞

Множество значений: 0 ≤ у < +∞

Чётность: чётная, у(–х) = у(х)

Монотонность: при х < 0; монотонно убывает

при х ˃ 0; монотонно возрастает

Экстремумы: минимум при х = 0, у = 0

Выпуклость: выпукла вниз

Точки перегибов: нет

Точки пересечения с осями координат: х = 0, у = 0

Обратная функция:

ФУНКЦИЯ х³ И ЕЁ ГРАФИК

Функция у = х³ называется кубической функцией.

Составим таблицу значений функции

у = х³.

Из таблицы видно, что при х > 0 и у > 0 (куб положительного числа положителен), а при х < 0 и у < 0 (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента х противоположным значением –х, тогда и функция примет противоположное значение; так как если у = х³, то

(–х)³ = –у.

Значит, каждой точке (х; у) графика соответствует точка (–х; –у) того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.

Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.

График функции у = х³ изображён на рисунке. Эта линия называется кубической параболой.

В I четверти кубическая парабола (при х > 0) <<круто>> поднимается вверх (значения у <<быстро>> возрастают при возрастании х, см. таблицу), при малых значениях х линия <<тесно>> проходит к оси абсцисс (при <<малых>> значениях х значение у <<весьма мало>>, см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.

Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив х = 1, 6, найдём по графику у ≈ 4,1. Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.

Если график квадратичной функции был симметричен оси Оу, то график кубической параболы симметричен относительно начала координат, то есть точки (0; 0).

Свойства кубической функции.

– при х = 0, у = 0, при х > 0, у > 0, при х < 0, у < 0;

– у кубической функции не существует не максимального ни минимального значения;

– кубическая функция возрастает на всей числовой оси (–∞; +∞);

– противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения у.

ФУНКЦИЯ

Перечислим свойства функции.

– область определения функции – вся числовая прямая;

– функция нечётная, так как

– функция возрастает на всей числовой прямой;

Для построения графика функции составим таблицу кубических корней (приближённые значения):

График функции изображен на чертеже.

Задания к уроку 29

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 18 августа 2018 г.