пятница, 20 февраля 2015 г.

Урок 1. Координатная плоскость

Положение точки на координатной прямой обозначается числом – координатой этой точки. Положение точки на плоскости можно задать двумя числами. Множество всех пар (под парой чисел понимают два числа, которые рассматриваются в определённом порядке) действительных чисел называют числовой плоскостью.

Как для множества всех действительных чисел есть геометрическая модель – координатная прямая, так и для множества всех пар действительных чисел есть геометрическая модель – координатная плоскость.

Проведём две перпендикулярные координатные прямые, которые пересекаются. Точку  О  назовём началом координат.
Координатная плоскость  ху  определяется двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом  О  и одинаковым масштабом.
Совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей с общей начальной точкой  О  называют прямоугольной системой координат.

Горизонтальную координатную прямую называют осью абсцисс и обозначают буквами  ОХ,  вертикальную координатную прямую называют осью ординат и обозначают буквами  ОY. На этих осях устанавливается положительное направление, на оси абсцисс – вправо, на оси ординат – вверх. Ось абсцисс и ось ординат составляют прямоугольную систему координат.

Плоскость, на которой размещена прямоугольная система координат, называется координатной плоскостью, а точку  О  пересечения осей – началом координат.
На координатной плоскости положение любой точки можно определить с помощью двух чисел. Оси координат разбивают плоскость на  4  части, которые называются координатными четвертями. Нумерация четвертей и знаки координат в каждой четверти показаны на рисунке.

ПРИМЕР:

Надо определить положение точки  А. 

Для этого опускаем из неё перпендикуляры на оси  ОХ  и  ОY. Если основаниям этих перпендикуляров соответствуют числа  –2  и  3, то эта пара чисел и определяет положение точки  А. Положение точки  А  на координатной плоскости обозначается парою чисел  (–2; 3), которые называются координатами этой точки. Координаты точки записываются в скобках:  А(–2; 3), читают так: точка  А  с координатами  –2  и  3. Первая координата точки  А  (число –2) называется абсциссою этой точки, а вторая координата (число 3) – ординатой.

Обратите внимание.

– точка  О – начало координат, имеет координаты нуль-нуль;
 – все точки, которые лежат на оси абсцисс, имеют ординаты, равные нулю;
– все точки, которые лежат на оси ординат, имеют абсциссы, равные нулю;
  – каждой точке на координатной плоскости соответствует лишь одна пара координат;
 – каждой паре чисел соответствует лишь одна точка на координатной плоскости.

Расстояние между двумя точками.

Расстояние  d  между точками 

А(х1; у1)  и  B(х2; у2) 

в координатной плоскости вычисляется по формуле:
Середина отрезка.

Координаты точки  C(х; у) – середина отрезка  АВ, где 

А(х1; у1)  и  B(х2; у2),

вычисляются по формулам:

ЗАДАЧА:

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от точек 

А(–1; 5)  и  В(7; –3).

РЕШЕНИЕ:

Графический способ решения задачи.

Обозначим координаты точки, которую надо найти – С(х; 0).

Обозначим на координатной плоскости точки  А(–1; 5)  и  В(7; –3).

Соединим их прямой линией. Из рисунка видно, что серединой этой прямой является точка с координатами  (3; 1). Проведём перпендикуляр к этой точке до пересечения с осью абсцисс.

Точка пересечения этой прямой с осью абсцисс будет равноудалена от точек  А  и  В.  Координата этой точки  (2; 0)  и будет решением этой задачи.

С(х; 0) = С(2; 0).
Аналитический способ решения задачи.

AC2 = BC2,

(x + 1)2 + (0 – 5)2 = (x – 7)2 + (0 + 3)2,

x2 + 2x + 1 + 25 = x2 – 14x + 9,

16x = 32, x = 2.

С(х; 0) = С(2; 0).

ЗАДАЧА:

Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек 

С(3; 2)  и  D(1; –6).

РЕШЕНИЕ:

Графический способ решения задачи.

Обозначим координаты точки, которую надо найти – М(0; у).

Обозначим на координатной плоскости точки  С(3; 2)  и  D(1; –6).

Соединим их прямой линией. Из рисунка видно, что серединой этой прямой является точка с координатами  (2; –2). Проведём перпендикуляр к этой точке до пересечения с осью ординат.

Точка пересечения этой прямой с осью ординат будет равноудалена от точек  С  и  D.  Координата этой точки  (0; –1,5)  и будет решением этой задачи.

М(0; у) = М(0; –1,5).
Аналитический способ решения задачи.

CM2 = DM2,

32 + (y – 2)2 = 12 + (y + 6)2,

9 + y2 – 4y + 4 = 1 + y2 + 12y + 36,

16y = –24, y = –1,5.

М(0; у) = М(0; –1,5).

ЗАДАЧА:

Найдите расстояние от точки  А(–4; 3)  до начала координат.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Расстояние между точками  А(2; 2)  и  В(–2; у)  равно  5. Найдите  у.

РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Точка  С – середина отрезка  АВ.  Найдите координаты точки  В, если

А(–6; –4), В(2; –6).

РЕШЕНИЕ:
откуда

хВ = 2хс – хА = 2 ∙ 2 – (–6) = 10,
откуда

уВ = 2ус – уА = 2 ∙ (–6) – (–4) = –8.

С(10; –8).

ЗАДАЧА:

Вершинами треугольника будут точки 

А(–3; 1),  В(2; –2), С(–4; 6).

Найдите медиану  АМ  треугольника  АВС.

РЕШЕНИЕ:

Точка  М – середина отрезка  ВС. Её координаты:
М(–1; 2),
Задания к уроку 1
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)