Урок 14. Симметричные функции.

вторник, 9 мая 2017 г.

Урок 14. Симметричные функции.

Если у функции имеется ось симметрии, то при выборе координатной системы стараются обыкновенно совместить одну из координатных осей с осью симметрии.

Если имеются две взаимно перпендикулярных оси, то естественно совместить с ними обе координатные оси.

Если имеется центр симметрии, целесообразно совместить с ним начало координат.

Если функция имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения есть центр симметрии.

Обратное утверждение неверно: из существования центра симметрии не следует существование хотя бы даже одной оси симметрии (например, функция у = х³).

Очень важно при построении по точкам функций у = f(х) уметь пользоваться признаками того, что:

– ось Ох есть ось симметрии;

– ось Оу есть ось симметрии;

– начало координат О есть центр симметрии.

Если кривая у = f(х) не меняется при замене у на –у, то ось Ох есть ось симметрии функции.

ПРИМЕР:

у² = 2рх – ось симметрии Ох, так как

(–у)² = 2рх.

График функции

у = – f(х)

может быть получен из графика функции

у = f(х)

симметричным отображением относительно оси Ох.

ПРИМЕР:

у² = 3х² – х + 1.

Функция симметрична относительно оси Ох, так как

(–у)² = у².

ПРИМЕР:

| у | = 2х – 3.

Функция симметрична относительно оси Ох, так как

| у | = | –у |.

Если функция у = f(х) не меняется при замене х на –х, то ось Оу есть ось симметрии кривой.

ПРИМЕР:

у = х² – ось симметрии Оу так как

у = (–х)².

График функции

у = f(–х)

может быть получен из графика функции

у = f(х)

симметричным отображением относительно оси Оу.

ПРИМЕР:

Если функция не меняется при одновременной замене х на –х и у на –у, то начало координат О есть центр симметрии функции у = f(х).

ПРИМЕР:

у = рх, –у = р(–х),

–у = –рх, у = рх,

Так как функция не меняется при одновременной замене х на –х и у на –у, то начало координат О есть центр симметрии функции у = рх.

Если кривая имеет осями симметрии обе оси координат Ох и Оу, то она имеет начало координат О центром симметрии.

В самом деле, если кривая не меняется при замене х на –х и не меняется при замене у на –у, то она не изменится и при одновременной замене х на –х и у на –у.