Урок 24. Квадратичная функция

четверг, 21 сентября 2017 г.

Урок 24. Квадратичная функция

Квадратичной (или квадратной) называют функцию, которую можно выразить формулой

у = aх² + bх + c,

где х – аргумент, а ≠ 0, b и c – данные числа.

Квадратичную функцию называют параболой.

Всякую квадратичную функцию можно задать уравнением вида:

у = a(х – m)² + n.

Для этого выделим из трёхчлена квадрат двучлена:

Уравнение

у = aх² + bх + c

Равносильно уравнению:

Обозначим значения выражений

соответственно через m и n. Тогда уравнение принимает вид:

у = a(х – m)² + n.

где m и n – координаты вершины квадратичной функции или

Квадратичную функцию можно записать:

– в виде многочлена:

у = aх² + bх + c, где а ≠ 0;

Например, у = 4х² – 24х + 20.

– в виде разложения на множители (если корни соответствующего квадратного трёхчлена существуют):

у = а(х –х₁)(х – х₂);

Например, у = 4(х –1)(х – 5);

– в виде выделенного полного квадрата:

у = a(х – m)² + n

Например, у = 4(х – 3)² – 16.

Область определения функции – все действительные числа то есть D = R.

Множество значений функции.

Если а ˃ 0, то E = [y_в; +∞).

Если а < 0, то E = (–∞; y_в],

где х_в и y_в – координаты вершины параболы.

ПРИМЕР:

Исследуем на экстремум функцию

у = х² + 2х + 5.

у = х² + 2х + 5 =

(х + 1)² + 4.

Выражение

(х + 1)²

всегда положительное и только при

х = –1

равно нулю. Поэтому, в точке

х = –1

данная функция имеет минимум. Максимума функция не имеет.

ПРИМЕР:

Какое наибольшее значение приобретает функция ?

6х² – х⁴ – 6.

РЕШЕНИЕ:

f(x) = 6х² – х⁴ – 6 =

(– х⁴ + 2 ∙ 3х² – 3²) + 3 =

=–(х⁴ – 2 ∙ 3х² + 3²) + 3 =

–(х² – 3)² + 3.

Максимальное значение функция приобретет тогда, когда –(х² – 3)² = 0, поэтому f(x)_max = 3.

ОТВЕТ: 3

ПРИМЕР:

При каких значениях а и с вершина параболы

y = аx² + 6x + c

находится в точке

А(1; 7) ?

РЕШЕНИЕ:

Вершина параболы y = аx² + 6x + c имеет координаты:

откуда а = –3.

у(1) = –3 ∙ 1² + 6 ∙ 1 + с = 7.

отсюда: с = 4.

ОТВЕТ: а = –3, с = 4

ПРИМЕР:

При каком значении с наибольшее значение функции

у = –0,5x² + 4x + с

равно –2 ?

РЕШЕНИЕ:

Вершина параболы y = –0,5x² + 4x + с имеет координаты:

Поэтому максимальное значение –2 функция приобретает в точке х = 4. Отсюда

–2 = –0,5 ∙ 4² + 4 ∙ 4 + с, с = –10.

Следовательно, максимальное значение –2 функция приобретает, если с = –10.

ОТВЕТ: с = –10

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

6х – х² ≥ 0, х² – 6х ≤ 0, 0 ≤ х ≤ 6.

А также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

5 – х ˃ 0, х < 5.

ОТВЕТ: [0; 5)

ПРИМЕР:

Найдите координаты вершины параболы:

у = 2х² + 4х – 1.

Координаты вершины параболы можно найти следующим образом. Абсциссу вычислим по формуле

Имеем:

Подставив

х = –1

в уравнение

у = 2х² + 4х – 1,

найдём ординату вершины параболы:

у = 2 × (–1)² + 4(–1) – 1 = –3.

Координаты вершины параболы

(–1; –3).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

56 – х – х² ≥ 0.

Решаем квадратное уравнение и находим корни:

х₁ = 8, х₂ = –7.

(х – 7)(х + 8) ≤ 0,

х ∈ [–8; 7],

х ≤ –7, х ≥ –8.

а также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

х² – 49 ≠ 0,

х² ≠ 49, х ≠ ±7.

ОТВЕТ: [–8; –7) ∪ (–7; 7)

ПРИМЕР:

Найти область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

х² – 3х – 4 ≥ 0.

Решаем квадратное уравнение и находим корни:

х₁ = 4, х₂ = –1.

(х – 4)(х + 1) ≥ 0,

х ≤ –1, х ≥ 4.

а также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

16 – х² ≠ 0,

х² ≠ 16, х ≠ ±4.

ОТВЕТ:

(–∞; –4) ∪ (–4; –1] ∪ (4; +∞)

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ: 90 – х – х² ˃ 0,

х² + х – 90 < 0,

(х + 10)(х – 9) < 0,

х ∈ (–10; 9).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ: 3х² – 10х + 3 ≥ 0,

(х – ¹/₃)(х – 3) ≥ 0,

х ∈ (–∞; ¹/₃] ∪ [3; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции
есть любые значения х, ибо

2х² + 7 ≠ 0.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:
х ∈ (–¹/₃; 0] ∪ [3; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:
х ∈ [–3; 4) ∪ (4; 6].

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:
х ∈ (–∞; –5) ∪ [2; 3,5) ∪ (3,5; +∞).

Простейшей квадратичной функцией есть функция вида

у = х².

Это –неограниченная чётная функция, определённая для всех действительных значений аргумента х. При х ˃ 0 она возрастающая, а при х < 0 – убывающая.

Областью значения функции

у = х²

есть все неотрицательные числа.

Квадратичная функция вида у = aх² также чётная, неограниченная, определённая для всех действительных х.

ПРИМЕР:

Функция f(x) = x² задана на отрезке [0; 3]. Обратима ли она ? Напишите формулу, которой задается функция g, обратимая к f. Какова область определения и множество значений функции g ?

РЕШЕНИЕ:

На отрезке [0; 3] разным значениям переменной х соответствуют разные значения f(x). Поэтому, функция f обратима. Она каждому числу х из промежутка [0; 3] ставит в соответствие его квадрат (число из промежутка [0; 9]). Поэтому обратная к ней функция каждому действительному числу х из промежутка [0; 9] ставит в соответствие его арифметический квадратный корень из промежутка [0; 3]. Поэтому, функцию g можно задать такой формулой:

g(x) = √͞͞͞͞͞x , х ∈ [0; 9].

Область определения функции g представляет собой отрезок [0; 9], а множество значений – [0; 3]. Функция f(x) = √͞͞͞͞͞x задана на отрезку [0; 9].

ПРИМЕР:

Функция f(x) = x² задана на отрезку [–3; 3]. Обратная ли она ?

РЕШЕНИЕ:

Дання функция f двум противоположным значениям переменной х из промежутка [–3; 3] ставит в соответствие то же число. Например

f(–2) = 4 и f(2) = 4.

Поэтому соответствие, обращенное к f, не является функцией. Следовательно, функция f не обратима.

Задания к уроку 24

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 21 сентября 2017 г.