Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости

суббота, 5 августа 2017 г.

Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости

График функции, заданной формулой

где k ≠ 0

(на множестве всех чисел, отличных от нуля), есть кривая линия, состоящая из двух ветвей.

Кривую такого вида называют гиперболой или равносторонней гиперболой. Она симметрична относительно начала координат, так как функция

у = ^k/_х

нечётная.

Если область определения функции состоит из всех отличных от нуля чисел, то её графиком служит подмножество точек этой гиперболы (одна её ветвь, отдельные точки и т. д.).

ПРИМЕР:

Построим график функции

Сначала построим ветвь графика на промежутке (0; +∞). Составим таблицу значений функции:

Нанесём полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой.

Это и будет ветвь графика функции у = ¹/_х на промежутке (0; +∞).

Воспользовавшись нечётностью функции у = ¹/_х, добавим к построенной ветви ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции у = ¹/_х:

ПРИМЕР:

Пусть функция задана формулой

причём множество значений переменной х – множество всех чисел, кроме нуля. Для всех пар соответственных значений переменных х и у произведение ху равно 12, то есть переменная у обратно пропорциональна переменной х.

Построим график рассматриваемой функции.

При х = 0 функция

не определена (график её не проходит через начало координат).

Найдём значения у, соответствующие некоторым положительным значениям х и некоторым отрицательным значениям х:

Положительным значениям х соответствуют положительные значения у, причём достаточно большим значениям х соответствуют малые значения у.

Например,

если х = 120,

то у = 0,1,

если х = 2400,

то у = 0,005.

Достаточно малым значениям х соответствуют большие значения у.

Например,

если х = 0,03,

то у = 400.

Отрицательным значениям х соответствуют отрицательные значения у. Точки графика с отрицательными координатами симметричны относительно начала координат точкам графика с положительными координатами. В координатной плоскости отметим все точки, координаты которых помещены в таблице.

Они располагаются по некоторой кривой линии, состоящей из двух ветвей. Проведём её.

График функции, заданной формулой

на множестве всех чисел, кроме нуля, состоит из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Его называют графиком обратной пропорциональности, рассматриваемой на множестве всех отличных от нуля чисел, с коэффициентом обратной пропорциональности, равным 12.

ПРИМЕР:

На рисунке построен график функции

Он представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, расположенных во втором и четвёртом координатных углах.

График обратно пропорциональной зависимости есть кривая линия, состоящая из двух отдельных ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах при k ˃ 0

ПРИМЕР:

у = ¹/_х

или во втором и четвертом – при k < 0.

ПРИМЕР:

у = – ¹/_х

ПРИМЕР:

При каких значениях k график функции

у = ^k/_x

проходит через точку

А(²/₇; –14) ?

РЕШЕНИЕ:

Подставим в формулу графика значения х = ²/₇ и у = –14. Получим:

ОТВЕТ: k = –4

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

Используя график, найдите промежутки роста и промежутки убывания функции.

РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из части гиперболы у = – ²/_х для х ≤ –1 и части прямой у = 1 – х для х ˃ –1.

Функция растет на промежутке (–∞; –1] и падает на промежутку [–1; +∞).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции есть все действительные числа, кроме чисел 0 и 1.

Графиком данной функции является гипербола у = –²/_х без точки (1; –2).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции есть все действительные числа, кроме числа –1.

Графиком данной функции является гипербола, полученная параллельным переносом гиперболы у = ⁶/_х на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх.
ПРИМЕР:

Постройте график функции: