Урок 18. График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

И каждая прямая на координатной плоскости, не перпендикулярная оси абсцисс и не проходящая через начало координат, – график линейной функции.

Рассмотрим вопрос о графике линейной функции. При этом мы будем предполагать, что область определения функции состоит из всех чисел.

Для построения графика линейной функции, достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

Графиком линейной функции 

y = аx + b 

будет прямая линия, которая проходит через точку  М(0; b)  параллельно графику функции

у = ах.

На рисунке

изображён график функции

y = аx + b.

Это прямая, параллельная прямой, служащей графиком  y = аx, и проходящая через точку  (0; b)  на оси ординат.

Число  а  называют угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла  α  между прямой и положительным лучом оси  х, то есть  а = tg α.

ПРИМЕР:

Построить график функции:

у = –0,5х + 4.

РЕШЕНИЕ:

Графиком линейной функции является прямая, а для построения прямой достаточно знать две точки графика. Заполним таблицу.

Аргументу  х  дали значение  0  и  4  и по формуле

у = –0,5х + 4

нашли соответствующие значения  у. Отметим на координатной плоскости точки  (0; 4)  и  (4; 2)  и проведём через эти точки прямую линию.

ПРИМЕР:

Построим график линейной функции

у = 0,5х – 2.

Составим таблицу соответственных значений  х  и  у.

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице.

Все отмеченные точки лежат на одной прямой.эта прямая является графиком линейной функции

у = 0,5х – 2.

ПРИМЕР:

Если  а = 0, график линейной функции будет прямая, параллельная оси абсцисс, которая проходит через точку  b  на оси ординат. Коэффициент  a  (угловой коэффициент) характеризует угол, который образует график функции с положительным направлением оси  Ох.

ПРИМЕР:

Построим график функции

y = 2x + 3.

Функция  y = 2x + 3  линейная, поэтому её графиком является прямая. Используя формулу  y = 2x + 3, найдём координаты двух точек графика:

если  х = –2,  то 

у = 2 × (–2) + 3 = –1,

если  х = 1,  то 

у = 2 × 1 + 3 = 5.

Отметим точки 

А(–2; –1)  и  В(1; 5).

Проведём через эти точки прямую. Прямая  АВ  есть график функции

y = 2x + 3.

При построении графика линейной функции часто бывает удобно в качестве одной из точек брать точку с абсциссой  0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

y = –0,8x + 1.

Найдём координаты двух точек графика:

если  х = 0,  то 

у = –0,8 × 0 + 1 = 1,

если  х = 5,  то 

у = –0,8 × 5 + 1 = –3.

Отметим точки 

М(0; 1)  и  К(5; –3).

Проведём через эти точки прямую. Прямая  МК  есть график функции

y = –0,8x + 1.

При  а = 0  формула

y = аx + b 

которой задаётся линейная функция, имеет вид

y = 0x + b 

т. е.  y = b.

Если  а = 0, график линейной функции будет прямая, параллельная оси абсцисс, которая проходит через точку  b  на оси ординат. 

Линейная функция, задаваемая формулой  y = b, принимает одно и то же значение при любом  х.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = –2.

Любому значению  х  соответствует одно и тоже значение  у, равное  –2. Отметим две какие-нибудь точки с ординатой  –2, например 

P(0; –2)  и  N(4; –2),

и проведём через них прямую.

Прямая  PN – график линейной функции 

у = –2.

Если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

ПРИМЕР:

Построить график линейной функции:

у = –2х + 1,

х ∈ [–3; 2].

Составим таблицу значений функции:

построим на координатной плоскости точки

(–3; 7),  (2; –3)

и проведём через них прямую. Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки. Этот отрезок и есть график линейной функции:

у = –2х + 1,

х ∈ [–3; 2].

Точки  на рисунке отмечены тёмными точками.

ПРИМЕР:

Построить график линейной функции:

у = –2х + 1,

х ∈ (–3; 2).

Составим таблицу значений функции:

построим на координатной плоскости точки

(–3; 7),  (2; –3)

и проведём через них прямую. Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки. Этот отрезок и есть график линейной функции:

у = –2х + 1,

х ∈ (–3; 2).

Значения

х = –3  и  х = 2

не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу

(–3; 2).

Поэтому точки

(–3; 7)  и  (2; –3)

на рисунке отмечены светлыми кружочками. 

ПРИМЕР:

Какая из точек принадлежит графику функции ?

у = 3 – 4х

А(0; 4), B(1; 3),

C(1; –1), D(3; 2).

РЕШЕНИЕ:

Графику функции  у = 3 – 4х   принадлежит точка  С(1; –1), так как 

–1 = 3 – 4 ∙ 1,

ПРИМЕР:

Укажите уравнение прямой, параллельной оси ординат.

х + у = 1,

х – у = 1,

х – 1 = 0,

у + 1 = 0.

РЕШЕНИЕ:

Параллельной оси ординат является прямая

х – 1 = 0.

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, изображенной на рисунке.

РЕШЕНИЕ:

у = ах + b,  а = tg 120° = –√͞͞͞͞͞3 ,

у =  –√͞͞͞͞͞3х +b , 0 = –√͞͞͞͞͞3 ∙ 2 + b, b = 2√͞͞͞͞͞3,

у = –√͞͞͞͞͞3 x + 2√͞͞͞͞͞3 .

ПРИМЕР:

Через какую из точек проходит график функции

у = 0,8х + 4 ?

А(0; 4), B(1; 3),

C(5; 8), D(3; 2).

РЕШЕНИЕ:

Через точку  C(5; 8), ибо если  х = 5, то

у = 0,8 ∙ 5 + 4 = 8, 8 = 8.

ПРИМЕР:

Найдите точку пересечения графика функции

у = 5х – 20

с осью ординат.

РЕШЕНИЕ:

х = 0, у = 5 ∙ 0 – 20 = –20,

поэтому точка пересечения (0; –20).

ПРИМЕР:

Через какую точку проходит график уравнения ?

у = 3х – 4.

РЕШЕНИЕ:

Через точку  C(1; –1), ибо если  х = 1, то

у = 3 ∙ 1 – 4 = –1, 8 = 8.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

|х + у| = 4.

РЕШЕНИЕ:

Используя определение модуля, получим:

 1) если  х + у ≥ 0, у ≥ –х, то 

х + у = 4, у = –х + 4

и графиком этой функции является прямая, проходящая через точки (0; 4)  и  (4; 0).

 2) если  х + у < 0, у < –х, то 

х + у = –4, у = –х – 4

и графиком этой функции является прямая, проходящая через точки (0; –4)  и  (–4; 0).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

|х – у| = 3.

РЕШЕНИЕ:

Используя определение модуля, получим:

 1) если  х – у = 3, у = х – 3.

Графиком этой функции является прямая, проходящая через точки  (0; –3)  и  (3; 0).

 2) если  х – у = –3, у = х + 3, то 

Графиком этой функции является прямая, проходящая через точки  (0; 3)   и  (–3; 0).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

График функции изображен на рисунке.

Функция падает на промежуток  (–∞; +∞), промежутков роста нет.

.ПРИМЕР:

Постройте график функции

РЕШЕНИЕ:

График функции изображен на рисунке.

Функция возрастает на промежутку  (–∞; +∞), промежутков убывания нет.

Задания к уроку 18

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 6. Аналитический способ задания функции
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 16. Функция, обратная данной
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 24. Квадратичная функция
• Урок 25. График функции  у = aх² + b
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 29. Функция  y = хⁿ и её график
• Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований