Урок 11. Нули функции и промежутки знакопеременности

суббота, 14 мая 2016 г.

Урок 11. Нули функции и промежутки знакопеременности

Значения аргумента, при котором функция превращается в ноль, называются нулями функции.

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию

y = f(x),

график которой изображён на рисунке.

Если х = –1, х = 4 или х = 6, то значение функции равно нулю. Такие значения аргумента х называют нулями функции.

Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение. Нули функции разбивают её область определения на промежутки знакопеременности – промежутки, на которых функция имеет значения одного знака.

ПРИКЛАД:

Нулем функции

у = х – 2

будет одно значение х:

х – 2 = 0; х = 2.

Нулями функции

у = х – 2х

будут числа 0 и 2.

ПРИМЕР:

Рассмотрим график функции

y = f(x),

который изображён на рисунку.

Определим, при каких значениях х функция превращается в ноль. Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью х. Получим:

х = –3 и х = 7.

Значит функция приобретает значения, которые равны нулю, при

х = –3 и х = 7.

То есть числа –3 и 7 – нули рассматриваемой функции. Нули функции разбивают её область значения – промежуток [–5; 9] на три промежутка:

[–5; –3), (–3; 7) и (7; 9].

Для значений х с промежутку (–3; 7) точки графика размещены выше оси х, а для значений х с промежутку

[–5; –3) и (7; 9]

ниже оси х.

Поэтому в промежутку (–3; 7) функция приобретает положительные значения, а в каждому из промежутков

[–5; –3) и (7; 9] – отрицательные.

ПРИМЕР:

Указать промежуток, которому принадлежат нули функции:

у = х³ + 2х² – х – 2.

Чтобы найти нули функции, нужно развязать уравнение

у = х³ + 2х² – х – 2 = 0;

х² (х + 2) – (х + 2) = 0;

(х² – 1)(х + 2) = 0;

Числа –2; –1; 1 принадлежат промежутку (–5; 3).

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

у = х⁴ + 8х² – 9.

РЕШЕНИЕ:

х⁴ + 8х² – 9 = 0.

Пусть у = х², у ≥ 0. Тогда

у² + 8у – 9 = 0,

у₁ = –9 – не соответствует условию задачи,

у₂ = 1, х² = 1, х = ±1.

Поэтому, нули функции

х₁ = –1, х₂ = 1.

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

у = –4х⁴ + 5х² – 1.

РЕШЕНИЕ:

–4х⁴ + 5х² – 1 = 0.

Пусть t = х². Тогда

–4t² + 5t – 1 = 0,

4t² – 5t + 1 = 0.

t₁ = 1, t₂ = ¹/₄,

х² = 1, х = ±1.

х² = ¹/₄, х = ±¹/₂.

Поэтому, нули функции

х₁ = –1, х₂ = 1, х₃ = –¹/₂, х₄ = ¹/₂.

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

у = –9х⁴ + 10х² – 1.

РЕШЕНИЕ:

–9х⁴ + 10х² – 1 = 0.

Пусть t = х². Тогда

–9t² + 10t – 1 = 0,

9t² – 10t + 1 = 0.

t₁ = 1, t₂ = ¹/₉,

х² = 1, х = ±1.

х² = ¹/₉, х = ±¹/₃.

Поэтому, нули функции

х₁ = –1, х₂ = 1, х₃ = –¹/₃, х₄ = ¹/₃.

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

у = х⁴ – 8х² – 9.

РЕШЕНИЕ:

х⁴ – 8х² – 9 = 0.

Пусть у = х², у ≥ 0. Тогда

у² – 8у – 9 = 0,

у₁ = –1 – не соответствует условию задачи,

у₂ = 9, х² = 9, х = ±3.

Поэтому, нули функции

х₁ = –3, х₂ = 3.

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

у = х⁴ – 2х² – 3.

РЕШЕНИЕ:

х⁴ – 2х² – 3 = 0.

Пусть у = х², у ≥ 0. Тогда

у² – 2у – 3 = 0,

у₁ = –1 – не соответствует условию задачи,

у₂ = 3, х² = 3, х = ±√͞͞͞͞͞3.

Поэтому, нули функции

х₁ = –√͞͞͞͞͞3, х₂ = √͞͞͞͞͞3.

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

РЕШЕНИЕ:
2х – 6 = 0,

2х = 6, х = 3.

ПРИМЕР:

Найдите нули функции
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ: х = –7

ПРИМЕР:

Найдите нули функции:

РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ: х ∈ ∅

ПРИМЕР:

Указать промежутки, на которых функция

f(x) = –5х + 15

приобретает отрицательные значения.

Функция приобретает отрицательные значения на тех промежутках, где

f(x) < 0.

Решим неравенство:

–5х + 15 < 0,

–5х < –15,

х ˃ 3,

х ∈ (3; +∞).

Задания к уроку 11

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 14 мая 2016 г.