Урок 28. Функция y = √x и её график

воскресенье, 5 августа 2018 г.

Урок 28. Функция y = √x и её график

Функции у = √͞͞͞͞͞х и её свойства .

Разберем функцию. Так как х лежит под корнем, то он может принимать только неотрицательные значения. То есть он должен быть больше или равен нулю.

– область определения – луч [0; + ∞), это следует из того, что выражение √͞͞͞͞͞х определено лишь при х ≥ 0;

– множество значений функции является промежуток [0; + ∞);

– значение функции у = 0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет;

– функция у = √͞͞͞͞͞х ни чётная, ни нечётная;

– функция непериодическая;

– точка (0; 0) является нулём функции;

– функция у = √͞͞͞͞͞х монотонно возрастает на области определения [0; + ∞).

– функция принимает положительные значения на промежутке [0; + ∞).

График функции у = √͞͞͞͞͞х .

Построим график функции

у = √͞͞͞͞͞х .

Так как выражение √͞͞͞͞͞х имеет смысл при х > 0, то областью определения функции у = √͞͞͞͞͞х служит множество неотрицательных чисел.

Составим таблицу значений функции у = √͞͞͞͞͞х (приближённые значения у для значений х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти с помощью калькулятора):

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точки плавную линию, получим график функции

у = √͞͞͞͞͞х

Свойства функции у = √͞͞͞͞͞х .

– если х = 0, то у = 0, поэтому начало координат принадлежит графику функции;

– если х > 0, то у > 0; график расположен в первой координатной четверти;

– большему значению аргумента соответствует большее значение функции; график функции идёт вверх.

График функции у = √͞͞͞͞͞х , как и график функции у = х², где х ≥ 0, представляет собой ветвь параболы. Это следует из того, что эти графики симметричны относительно прямой у = х. Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (a; b) и (b; a) симметричны относительно прямой у = х.

ПРИМЕР:

Каковы координаты точки пересечения графиков функций ?

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения абсциссы точки пересечения решим уравнение:

х ≥ 0, х₁ = –2, х₂ = 1.

Откуда х = 1, тогда у = 1, поэтому точка пересечения (1; 1).

ОТВЕТ: графики пересекаются в точке (1; 1)

ПРИМЕР:

Каковы координаты точки пересечения графиков функций ?

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения абсциссы точки пересечения решим уравнение:

Откуда х = 1, тогда у = 1, поэтому точка пересечения (1; 1).

ОТВЕТ: графики пересекаются в точке (1; 1)

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

График функции состоит из

части прямой у = х + 2 для х ≤ –1,

части параболы у = х² для –1< х < 1 і

части графика функции у = √͞͞͞͞͞х для х ≥ 1.

Функция растет на промежутках (–∞; –1] и [0; +∞) и падает на промежуток [–1; 0].

ОТВЕТ:

промежутки роста – (–∞; –1] и [0; +∞),

промежуток убывания – [–1; 0].
ПРИМЕР:

Постройте в одной системе координат графики функций

у = √͞͞͞͞͞x и у = 6 – х.

С помощью графиков укажите значения х, при которых значения функции у = 6 – х больше значения функции у = √͞͞͞͞͞x .

РЕШЕНИЕ:

Строим график функции у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0; +∞) и прямую, являющуюся графиком функции у = 6 – х. Координаты точек пересечения графиков найдем из системы
Откуда 6 – х = √͞͞͞͞͞x.

Пусть √͞͞͞͞͞x = t > 0. Получим:

6 – t² = t,

t² + t – 6 = 0,

t₁ = –3 не удовлетворяет условию t > 0,

t₂ = 2, √͞͞͞͞͞x = 2,

х = 4, у = 2,

А(4; 2).

Значение функции у = 6 – х больше значений функции у = √͞͞͞͞͞x, если х ∈ [0; 4).

ОТВЕТ: [0; 4)

ПРИМЕР:

Постройте в одной системе координат графики функций

у = √͞͞͞͞͞x и у = 2 – х.

С помощью графиков укажите значения х, при которых значения функции у = √͞͞͞͞͞x больше значения функции у = 2 – х.

РЕШЕНИЕ:

Графики изображены на рисунку.
√͞͞͞͞͞x > 2 – х на промежутку (1; +∞).

ПРИМЕР:

Решите графически уравнение

√͞͞͞͞͞x = ⁸/_х.

РЕШЕНИЕ:

Графики функцый √͞͞͞͞͞x и ⁸/_х изображены на рисунку.

Точкой пересечения данных графиков является точка А(4; 2). Поэтому решением уравнения є х = 4.

ПРИМЕР:

Решите графически уравнение

√͞͞͞͞͞x = ¹/_х.

РЕШЕНИЕ:

Графики функций √͞͞͞͞͞x и ¹/_х изображены на рисунку.

Точкою пересечения данных графиков будет точка А(1; 1). Поэтому решением уравнения будет х = 1.

Перечислим свойства функции.

– область определения функции – вся числовая прямая;

– функция нечётная, так как
– функция возрастает на всей числовой прямой;

Для построения графика функции составим таблицу кубических корней (приближённые значения):

Нанесём полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Затем к построенной ветви добавим ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции