Урок 13. Экстремальные значения функции

четверг, 4 мая 2017 г.

Урок 13. Экстремальные значения функции

Исследуя поведение функции вблизи некоторой точки, удобно пользоваться понятиям окрестности.

Окрестностью точки а называется любой интервал, который содержит эту точку.

ПРИМЕР:

Интервал

(2; 6) – один из окрестностей точки 3.

Интервал

(–3,3; –2,7) – окрестность точки –3.

ПРИМЕР:

Изучая график рисунка, можно прийти к выводу, что <<самыми заметными>> точками области определения являются такие точки х, в которых рост функции изменяется падением (точки 3 и 5) или, наоборот, падение изменяется ростом (точка 4).

Различают наибольшее (наименьшее) значение функции на некотором промежутке и ее максимум (минимум).

ПРИМЕР:

Функция, которая представлена графически на рисунку, на сегменте

[–3; 6]

имеет наибольшее значение в точке х = 1 и наименьшее – в точке х = 6.

Наименьшее значение данной функции не будет её минимумом (локальным). Данная функция имеет минимум в точке х = 3, а максимум – в точках х = 1 и х = 4.

Дадим точное определение точек экстремума.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Точка х₀ называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполняется неравенство

f(x) ≥ f(х₀).

В окрестности точки минимума графики, как правило, изображаются в виде <<впадины>>, или заострённой (мал. 1), или гладкой (мал. 2).

Минимум функции – это значение функции в такой её точке, в которой оно является наименьшим в любой, сколь угодно малой окрестности этой точки.

Значение

у_min = f(х_min)

называется минимумом функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Точка х₀ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполняется неравенство

f(x) < f(х₀).

По определению значение функции f в точке максимума х₀ будет наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности х₀, как правило, имеет вид гладенького <<горба>> (рис. 4), или заострённого <<пика>> (рис. 3).

Максимум функции – это её значение в такой точке, в которой оно является наибольшим в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Значение

у_max = f(х_max)

называется максимумом функции.

Другие примеры поведения графиков функции в точках приведены ниже.

а – точка максимума

а – точка минимума

Тут каждая точка промежутка (–1; 0) будет как точкою минимума, так и точкой максимума.

Для точек максимума и минимума функции принято общее название – их называют точками экстремума. Значение функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название – экстремум функции). Точки максимума обозначают х_max, а точки минимума х_min. Значения функции в этих точках обозначают соответственно у_max и у_min.

х_max – точка максимума

у_max – максимум

х_min – точка минимума

у_min – минимум

х_max,х_min – точки экстремума

у_max, у_min– экстремумы

Функция f(x) в точке х = с имеет максимум (минимум), если в области определения её можно указать такой интервал, для которого с будет внутренней точкой и для всех отличных от с точек х этого интервала

f(x) < f(c)

[f(x) > f(c)].

Из этого определения выходит, что значение функции в крайних точках области её определения может быть наибольшим или наименьшим, но не может быть ни максимумом, ни минимумом.

ПРИМЕР:

Определите точки экстремума функции

Знаменатель √͞͞͞͞͞х + 1 наименьший при х = 0. В этом случае значение функции будет наибольшим. Однако это наибольшее значение функции не будет её максимумом (локальным), поскольку х = 0 будет крайней точкой области определения данной функции. Минимум функция также не имеет.

ПРИМЕР:

Построить график линейной функции и назвать наибольшее и наименьшее значение функции.

у = –2х + 1,

х ∈ [–3; 2].

у_наиб = 7,

у_наим = –3.

ПРИМЕР:

Построить график линейной функции и назвать наибольшее и наименьшее значение функции.

у = –2х + 1,

х ∈ (–3; 2).

Наибольшего и наименьшего значения функции нет, так как оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значение, исключены из рассмотрения.

ПРИМЕР:

Какое наибольшее значение приобретает функция ?

f(x) = –9х² – 6х + 19.

РЕШЕНИЕ:

–9х² – 6х + 19 =

= –(3х + 1)² + 20.

Данная функция приобретает наибольшее значение, когда

3х + 1 = 0.

Это значение равно 20.

ПРИМЕР:

Какое наименьшее значение приобретает функция ?

f(x) = 9х² – 18х – 1.

РЕШЕНИЕ:

9х² – 18х – 1 =

= 9х² – 18х + 9 – 10 =

= (3х – 3)² – 10.

Данное выражение приобретает наименьшее значение, когда

3х – 3 = 0.

Это значение равно –10.

ПРИМЕР:

Какое наибольшее значение приобретает функция ?

f(x) = 4х³ – х⁶ + 1.

РЕШЕНИЕ:

f(x) = 4х³ – х⁶ + 1 =

= –х⁶+ 4х³ – 4 + 5 =

= –(х³ – 2)² + 5.

Первое слагаемое преобразованной функции меньше или равно 0 для всех х, поэтому наибольшее значение функция приобретает при

–(х³ – 2)² = 0, х³ – 2 = 0,

Задания к уроку 13

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 4 мая 2017 г.