Урок 12. Возрастание и убывание функции

суббота, 29 апреля 2017 г.

Урок 12. Возрастание и убывание функции

Говорят, что функция у, зависящая от аргумента х, возрастает в данном промежутке изменения х, если большему из двух любых значений аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Другими словами:

Функция называется возрастающей на данном участке, если её числовые значения увеличиваются при увеличении числовых значений аргумента.

Итак, пусть х₁ и х₂– два произвольных значения х из данного промежутка, а у₁ и у₂– соответствующие значения у.

Для возрастающей функции при х₂ ˃ х₁ имеем у₂ ˃ у₁.

Иначе: если при х₁ < х₂, где х₁ и х₂– произвольные значения аргумента из данного промежутка,

f(х₁) < f(х₂),

то говорят, что функция f(х) возрастает на этом промежутку.

Наоборот, функция у убывает в данном промежутке, если большему из двух любых значений х соответствует меньшее значение у.

Другими словами:

Функция называется убывающей на данном участке, если её числовые значения уменьшаются при увеличении числовых значений аргумента.

Если же при х₁ < х₂, де х₁ и х₂– произвольные значения аргумента из данного промежутку,

f(х₁) > f(х₂),

то говорят, что на этом промежутке функция f(х) убывает.

Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функции, которые в каком-нибудь промежутке только возрастают или только убывают, называются монотонными в этом промежутке.

Если функция возрастает в каком-нибудь промежутке, то её график с увеличением х на этом промежутке поднимается всё выше, а если убывает, то её график опускается всё ниже.

Иными словами при движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается,

а ордината графика убывающей функции уменьшается.

Если функция возрастает на всей области определения, то её называют возрастающей функцией.

Если функция убывает на всей области определения, то её называют убывающей функцией.

ПРИМЕР:

На рисунке изображён график функции, областью определения которого будет промежуток

[–1; 4].

Эта функция будет возрастающей, так как она возрастает на всей области определения.

ПРИМЕР:

На рисунке изображён график функции, областью определения которого будет промежуток

[–1; 4].

Эта функция будет убывающей, так как она убывает на всей области определения.

Возрастающими, например, будут функции

у = 2х, у = √͞͞͞͞͞х,

а убывающими – функции

у = –2х, у = –х.

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию y = f(x), график которой изображён на рисунке.

На промежутку [–3; 2] график <<идёт вверх>>: если увеличивать значения х из этого промежутка, то соответствующие значения функции будут увеличиваться. Например, возьмём значения аргумента

х₁ = –3 і х₂ = –1, тогда х₁ ˃ х₂. Так как

f(х₁) = f(–3) = –2, а

f(х₂) = f(–1) = 0,

то f(х₂) ˃ f(х₁).

Большему значению аргумента (х₂) соответствует большее значение функции (f(х₂)). Говорят, что на промежутку [–3; 2] функция y = f(x) возрастает (или будет возрастающей). Такою ж она будет и на промежутку [5; 7]. На промежутку [2; 5] график функции y = f(x) <<идёт вниз>>: если увеличивать значения аргумента, то соответствующие значения функции уменьшаются. Говорят, что на этом промежутку функция y = f(x) убывает (или будет убывающей). Функция будет не возрастающей, не убывающей. Она лишь возрастает или убывает на отдельных промежутках.

ПРИМЕР:

Функция

у = х²при любых положительных значениях х возрастает.

В самом деле, пусть

х₁ ˃ 0, х₂ ˃ 0 и х₂ ˃ х₁,

тогда
откуда
Это число положительное, так как

х₂ – х₁ ˃ 0 и х₂ + х₁ ˃ 0.

Значит у₂ ˃ у₁, то есть функция у = х² возрастает при положительных значениях х.

Та же функция при любых отрицательных значениях х убывает.
Действительно, пусть

х₁ < 0, х₂ < 0 и х₂ ˃ х₁.

Тогда
Это число отрицательное, так как

х₂ – х₁ ˃ 0, а х₂ + х₁ < 0.

Значит у₂ < у₁, то есть функция у = х² убывает при отрицательных значениях х.

ПРИМЕР:

Функция

у = х³ + 2

возрастает на всей области определения, т. е. при всех действительных значениях х.

Иногда говорят и о невозрастающих и неубывающих функциях. Если при х₁ < х₂, где – х₁ и х₂ – произвольные значения аргумента из данного промежутка,

f(х₁) ≤ f(х₂),

то функцию f(х) называют неубывающей на этом промежутке. Аналогично определяется и невозрастающая функция. Каждая возрастающая функция есть и неубывающая, но не каждая неубывающая есть возрастающая.

Рассмотрим для примера функцию у = [х], где символом [х] обозначена целая часть числа х, точнее, наибольшее целое число, не превышающее х.

ПРИМЕР:

[2,4] = 2;

[0,25] = 0;

[7] = 7;

[ –3,2] = –4.

ПРИМЕР:

График функции у = [х] дан на рисунке.

Рассмотрим эту функцию на промежутке

2 ≤ х < 3.

Как бы не изменялось значение х на этом промежутке, значение функции у остаётся неизменным, равным 2. Следовательно, данную функцию на этом промежутке можно назвать неубывающей (и невозрастающей), но назвать её возрастающей или убывающей на этом промежутке нельзя.

ПРИМЕР:

Исследовать на монотонность функцию:

у = 2х³ + 3.

РЕШЕНИЕ:

Пусть х₁ < х₂. Тогда по свойствам числовых неравенств имеем

х³₁ < х³₂, 2х³₁ < 2х³₂,

2х³₁ + 3 < 2х³₂ + 3, то есть

f(х₁) < f(х₂).

Итак, х₁ < х₂, f(х₁) < f(х₂), а это значит, что функция

у = 2х³ + 3

возрастает на всей числовой прямой.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

Пользуясь построенным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

РЕШЕНИЕ:

При х ≤ –1 графиком функции будет часть гиперболы
с промежутком возрастания (–∞; –1].

При х ˃ –1 графиком функции будет часть параболы х² с промежутком убывания (–1; 0], возрастания – [0; +∞).

ОТВЕТ: промежутки возрастания: (–∞; –1] і [0; +∞), промежутки убывания: (–1; 0].

Задания к уроку 12

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 29 апреля 2017 г.