Урок 15. Чётные и нечётные функции

понедельник, 29 мая 2017 г.

Урок 15. Чётные и нечётные функции

Функция называется чётной, если она не меняет своего значения при перемене знака аргумента:

f(–x) = f(x).

ПРИМЕР:

Функции

у = х², у = х⁴, у = х⁴ – чётные, так как при любых х:

(–х)² = х², (–х)⁴ = х⁴, (–х)⁶ = х⁶.

График чётной функции симметричный относительно оси ординат.

Функция называется нечётной, если при перемене знака аргумента она меняет свой знак, но сохраняет абсолютную величину (модуль):

f(–x) = – f(x),

ПРИМЕР:

Функции

у = х³, у = х⁵, у = х⁷ – нечётные, так как при любых х:

(–х)³ = –х³, (–х)⁵ = –х⁵, (–х)⁷ = –х⁷.

График нечётной функции симметричный относительно начала координат.

Из определения следует, что область определения Х как чётной, так и нечётной функции должна обладать следующим свойством:

если х ∈ Х то и –х ∈ Х (то есть Х – симметричное относительно 0 множество).

Функция вида

y = kx²ⁿ

является чётной, если аргумент возведён в любую чётную степень.

ПРИМЕР:

у = 2х⁴ – х².

f(–x) = 2(–х)⁴ – (–х)²

= 2х² – х² = f(–x).

Функция вида

y = kx²ⁿ⁺¹

нечётной, если аргумент возведён в любую нечётную степень.

ПРИМЕР:

у = 2х + х³ – 0,5х⁵.

f(–x) = 2(–х) + (–х)³ – 0,5(–х)⁵

= –2х – х³ + 0,5х⁵ =

–(2х + х³ – 0,5х⁵)= –f(x).

Функция будет чётной, если аргумент находится под знаком модуля (|х|). Модулем или абсолютным значением числа называется само число, если оно неотрицательно, и число с противоположным знаком, если оно отрицательно:

|х| = х, если х ≥ 0; |х| = –х, если х < 0.

ПРИМЕР:

у = х² – |х|.

f(–x) = (–х)² – |–х|

= х² – |х| = у.

Существуют функции не чётные и не нечётные. Если функция у = f(x) такова, что хотя бы для одной пары значений х и –х оказалось, что f(–x) ≠ – f(x), и хотя бы для одной пары значений х и –х оказалось, что f(–x) ≠ f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

ПРИМЕР:

Функциями общего вида будем называть функции, которые не относятся не до чётных, не до нечётных.

ПРИМЕР:

у = х + 2х².

f(–x) = –х + 2(–х)² =

–х + 2х² ≠ ±f(x).

Функция общего вида.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность и нечётность функцию:

РЕШЕНИЕ:

D(f):

x³ – x ≠ 0,

x(x² – 1) ≠ 0,

x ≠ 0, x ≠ ±1.

D(f) =

(–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞) –

симметрична относительна нуля.

Функция f(x) – чётная.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность и нечётность функцию:

РЕШЕНИЕ:

симметрична относительна нуля.

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = х²⁰.

РЕШЕНИЕ:

Имеем

f(x) = х²⁰, f(–x) = (–x)²⁰ = х²⁰.

Значит f(–x) = f(x) для всех х. Функция является чётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

у = х¹³.

РЕШЕНИЕ:

Имеем

f(x) = х¹³, f(–x) = (–x)¹³ = –х¹³.

Значит f(–x) = –f(x) для всех х. Функция является нечётной.

ПРИМЕР:

Исследовать на чётность функцию:

РЕШЕНИЕ:
Заметим, что f(4) = 0, а f(–4) = –⁸/₇. Не выполняется ни равенство f(4) = f(–4), ни равенство f(–4) = – f(4). Значит, функция не является ни чётной ни нечётной.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = |х|.

РЕШЕНИЕ:

Имеем f(–x) = |–х| = |х| = f(x). Значит, функция чётная, а потому её график симметричен относительно оси ординат.

Если х ≥ 0, то |х| = х, то есть при х ≥ 0 имеем у = х. Графиком функции у = х при х ≥ 0 служит биссектриса первого координатного угла. Подвергнув её преобразованию симметрии относительно оси у, получим график функции у = |х|.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = х|х|.

РЕШЕНИЕ:

Имеем f(–x) = (–x)|–х| = –x|х| = –f(x). Значит, функция нечётная, а потому её график симметричен относительно начала координат.

Если х ≥ 0, то |х| = х, а

f(x) = x∙|х| = х∙x = x².

Значит при х ≥ 0 имеем у = х². Графиком будет ветвь параболы. Она изображена на рисунке.
Подвергнув её преобразованию симметрии относительно начала координат, получим график функции у = x |х|.

Задания к уроку 15

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 29 мая 2017 г.