Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований

Преобразования графиков функций – это линейные преобразования функции  y = f(x)  или её аргумента  х  к виду

y = af(kx + b) + m,

а так же преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции  y = f(x), где 

y = kx + b,

y = ax²,

y = xⁿ,

y = ^k/_x,

y = a^x,

y = log_a x,

можно построить график функции

y = af(kx + b) + m.

ОБЩИЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на  |b|  единиц.

y = f(x – b)

вправо, если  b ˃ 0;

влево, если  b < 0.

y = f(x + b)

влево, если  b ˃ 0;

вправо, если  b < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (х + 2)³.

Построим график функции  у = х³ и параллельно перенесём его влево на  2  единицы вдоль оси  х  (так как  2 ˃ 0). Получим график функции

у = (х + 2)³.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (х – 3)².

Построим график функции  у = х² и параллельно перенесём его вправо на  3  единицы вдоль оси  х  (так как  –3 < 0). Получим график функции

у = (х – 3)².

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на  |m|  единиц.

y = f(x) + m

вверх, если  m ˃ 0;

вниз, если  m < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = х² – 5.

Построим график функции  у = х² и параллельно перенесём его вниз на  5  единиц вдоль оси  у  (так как  –5 < 0). получим график функции

у = х² – 5.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.

Построим график функции  у = √͞͞͞͞͞х   и параллельно перенесём его вверх на  4  единицы вдоль оси  у  (так как  4 ˃ 0). Получим график функции

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.

Отражение графика.

y = f(–x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = –х + 3.

Построим график функции  у = х + 3  и отобразим полученный график симметрично относительно оси  у  и получим график функции

у = –х + 3

y = –f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = –(х – 3)².

Построим график функции  у = х² и параллельно перенесём его вправо на  3  единицы вдоль оси  х  (так как  –3 < 0). получим график функции

у = (х – 3)².

отобразим полученный график симметрично относительно оси  х  и получим график функции

у = –(х – 3)².

Сжатие и растяжение графика.

y = f(kx)

При  k ˃ 1 – сжатие графика к оси ординат в  k  раз,

при  0 < k < 1 – растяжение графика от оси ординат в  k  раз,

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (3х)².

Построим график функции  у = х². Выполним сжатие графика функции  в три раза до оси  у  и получим график функции

у = (3х)².

ПРИМЕР:

Построить график функции

Построим график функции  у = √͞͞͞͞͞х. Выполним растяжение графика функции в ¹/₃  от оси  у  и получим график функции

y = kf(x)

При  k ˃ 1 – растяжение графика от оси абсцисс в  k  раз,

при  0 < k < 1 – сжатие графика к оси абсцисс в  k  раз.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = 3√͞͞͞͞͞х.

Построим график функции  у = √͞͞͞͞͞х . Выполним растяжение графика функции в три раза относительно оси  х  и получим график функции

у = 3√͞͞͞͞͞х.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = ¹/₃ х³.

Построим график функции  у = х³. Выполним сжатие графика функции  у = х³  в три раза к оси  х  и получим график функции

у = ¹/₃ х³.

Преобразования графика с модулем.

у = | f(x)|

При  f(x) ˃ 0 – график остаётся без изменений,

при  f(x) < 0 – график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = |х² – 6|

Построим график функции  у = х². Параллельно переносимо график вниз на  6  единиц вдоль оси  у  и получим график функции

у = х² – 6.

Отобразим симметрично относительно оси  х  ту часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у = |х² – 6|

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = |х³|

Отобразим симметрично относительно оси  х  ту часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у = |х³|

у = f(|x|)

При  x ≥ 0 – график остаётся без изменений,

при  x < 0 – график симметрично отражается относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = (|x| – 1)².

Построим график функции  у = х² и параллельно перенесём его вправо на  1  единицы вдоль оси  х  и получим график функции

у = (х – 1)².

Оставляем ту часть графика, которая соответствует неотрицательным значением  х. Симметрично отображаем относительно оси  у  часть полученного графика для неотрицательных х  и получаем график функции

у = (|x| – 1)².

ПРИМЕР:

Построить график функции

у = 5|x| – 3.

Построим график функции  у = 5х  и параллельно перенесём его вниз на  3  единицы вдоль оси  у  и получим график функции

у = 5x – 3.

Оставим ту часть графика, которая соответствует неотрицательным значениям  х. Симметрично отобразим относительно оси  у  часть полученного графика для неотрицательных  х  и получим график функции

у = 5|x| – 3.

Задания к уроку 30

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 6. Аналитический способ задания функции
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 16. Функция, обратная данной
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 18. График линейной функции
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 24. Квадратичная функция
• Урок 25. График функции  у = aх² + b
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 29. Функция  y = хⁿ и её график