Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 9 мая 2017 г.

Урок 14. Симметричные функции.

Если у функции имеется ось симметрии, то при выборе координатной системы стараются обыкновенно совместить одну из координатных осей с осью симметрии.

Если имеются две взаимно перпендикулярных оси, то естественно совместить с ними обе координатные оси.

Если имеется центр симметрии, целесообразно совместить с ним начало координат.

Если функция имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения есть центр симметрии.

Обратное утверждение неверно: из существования центра симметрии не следует существование хотя бы даже одной  оси симметрии (например, функция  у = х3).

Очень важно при построении по точкам функций  у =  f(х)  уметь пользоваться признаками того, что:

– ось  Ох  есть ось симметрии;

– ось  Оу  есть ось симметрии;

– начало координат  О  есть центр симметрии.

Если кривая  у =  f(х)  не меняется при замене  у  на  –у, то ось  Ох  есть ось симметрии функции.

ПРИМЕР:

у2 = 2рх – ось симметрии  Ох, так как

(–у)2 = 2рх.

График функции

у = – f(х)

может быть получен из графика функции

у =  f(х)

симметричным отображением относительно оси  Ох.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

у2 = 3х2 – х + 1.

Функция симметрична относительно оси  Ох, так как

(–у)2 = у2.

ПРИМЕР:

| у | = 2х – 3.

Функция симметрична относительно оси  Ох, так как

| у | = | –у |.

Если функция  у =  f(х)  не меняется при замене  х  на  –х, то ось  Оу  есть ось симметрии кривой.
ПРИМЕР:

у = х2 – ось симметрии  Оу  так как

у = (–х)2.

График функции

у =  f(–х)

может быть получен из графика функции

у =  f(х)

симметричным отображением относительно оси  Оу.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Если функция не меняется при одновременной замене  х  на  –х  и  у  на  –у, то начало координат  О  есть центр симметрии функции  у =  f(х).
ПРИМЕР:

у = рх, –у = р(–х),

–у = –рх, у = рх,

Так как функция не меняется при одновременной замене  х  на  –х  и  у  на  –у, то начало координат  О  есть центр симметрии функции  у = рх.

Если кривая имеет осями симметрии обе оси координат  Ох  и  Оу, то она имеет начало координат  О  центром симметрии.

В самом деле, если кривая не меняется при замене  х  на  –х  и не меняется при замене  у  на  –у, то она не изменится и при одновременной замене  х  на  –х  и  у  на  –у.

ПРИМЕР:
при  а = 2  и  b = 3  получим следующий график:
Оси симметрии  Ох  и  Оу, начало координат  О – центр симметрии.
Если функция  у =  f(х)  не меняется при замене  х  на  у, а  у  на  х, то биссектриса основного координатного угла  х = у  есть ось симметрии функции.
Это справедливо только при условии, что на обеих осях выбраны одинаковые масштабы.

ПРИМЕР:

х3 + у3 = ху.

Центр симметрии  О  и биссектриса основного координатного угла (синяя линия).
Задания к уроку 14
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий