Урок 16. Функция, обратная данной

Отношение, обратное данному.

ПРИМЕР:

На рисунке отношение  р  между элементами множества  Х  и элементами множества  Y  задано с помощью стрелок.

Поменяем направление стрелок.

Получим другое отношение – отношение  q  между элементами множества  Y  и элементами множества  Х.

Говорят, что  q  есть отношение, обратное отношению  р. В свою очередь отношение  р  является обратным отношению  q.

Областью определения отношения  p  является множество 

{–3; –2; –1},

а областью значений – множество 

{2; 3; 4; 5}

Для отношения  q, обратного отношению  р, областью определения служит множество 

{2; 3; 4; 5},

а областью значений – множество 

{–3; –2; –1}.

Таким образом, область определения и область значений взаимно-обратных отношений меняются ролями.

Отношение  p  между элементами множеств  Х  и  Y  определяется множеством пар:

{(–3; 2); (–2; 3); (–1; 4); (–1; 5)}

Поменяв в каждой паре местами её элементы, получим множество пар, которым задаётся отношение  q, обратное  р:

{(2; –3); (3; –2); (4; –1); (5; –1)}

Если отношение определяется некоторым множеством пар, то обратное ему отношение определяется множеством пар, которое получено из первого перестановкой элементов в каждой паре.

ПРИМЕР:

Вернёмся к рассмотренным выше взаимно-обратным отношениям  р  и  q.

На рисунке построен график отношения  р.

На рисунке построен график отношения  q.

Построим теперь графики отношений  р  и  q  в одной и той же системе координат.

Нетрудно заметить, что точки с координатами 

(–3; 2)  и  (2; –3), (–1; 4)  и  (4; –1)  и т. д.,

т. е. точки, у которых абсцисса первой является ординатой второй и ордината первой является абсциссой второй, симметричны относительно прямой

у = х.

Каждой точке графика отношения  р  соответствует симметричная относительно прямой  у = х  точка графика отношения  q, и наоборот, каждой точке графика отношения  q  соответствует симметричная относительно прямой  у = х  точка графика отношения  р. Поэтому графики отношений  р  и  q  симметричны относительно прямой  у = х.

Вообще справедлива следующая теорема:

Графики взаимно-обратных отношений между числами симметричны относительно прямой  у = х.

Приведём примеры взаимно-обратных отношений

ПРИМЕР:

На рисунке с помощью стрелок показано отношение <<меньше>> между элементами множества

А = {5; 7; 10}

В = {2; 3; 8; 12}

Обратное ему отношение является отношением <<больше>> между элементами множества  В  и элементами множества  А.

ПРИМЕР:

Отношение <<быть делителем>> и <<быть кратным>> между натуральными числами – взаимно-обратные отношения.

Действительно, если  а  и  b  – некоторые натуральные числа и  а  делитель  b, то  b  кратно  а, и наоборот, если  b  кратно  а, то  а  делитель  b. Например, из того, что  <<2 делитель 6>>, следует, что  <<6 кратно 2>>; из того, что  <<24 кратно 8>>, следует, что  <<8 делитель 24>>.

Понятие о функции, обратной данной.

Если функция  у = f(х)  такова, что для любого её значения  у₀  уравнение   f(х) = у₀  имеет относительно  х  единственный корень, то говорят, что функция  у = f(х)  обратима.

Если функция  у = f(х)  обратима, то, выразив  х  их формулы  у = f(х)  и поменяв затем  х  и  у  местами, получим обратную функцию, её обозначают

у = f ^-1 (х).

Пример обратимой функции.

Пример необратимой функции.

ПРИМЕР:

На рисунку с помощью стрелок задано отношение  р  между элементами множеств  А  и  В. Это отношение – функция, так как каждому элементу множества  А  соответствует не более одного множества  В.

Отношение  q  между элементами множества  В  и  А, обратное  р, не является функцией: в множестве  В  существует элемент (число 2), которому соответствует более одного элемента из множества  А  (элементы 5  и  6).

ПРИМЕР:

На рисунках с помощью стрелок задано отношение  f  между элементами множеств  X  и  Y  и обратное ему отношение  g  между элементами множеств  Y  и  X.

Отношение  f  – функция, отношение  g, обратное  f, тоже функция.

Приведённые примеры показывают, что отношение, обратное функции, может быть функцией, а может и не быть функцией.

Функция  f  называется обратимой, если обратное ей отношение – функция.

В этом случае отношение, обратное функции  f, называют функцией, обратной  f.

Мы рассмотрели примеры функций  p  и  f, заданных с помощью стрелок. Обратимой оказалась функция в том случае, когда к любому элементу области её значений было проведено не более одной стрелки, т. е. когда каждое своё значение функции принимала только при одном значении аргумента.

Функция обратима тогда и только тогда, когда каждое своё значение она принимает лишь при одном значении аргумента.

Если функция  у = f(х)  определена и возрастает (убывает) на промежутке  Х  и областью её значений является промежуток  Y, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (убывает) на  Y.

Для нахождения функции, обратной данной  у = f(х), надо выразить  х  через  у: х = g(у), а затем записать полученную функцию в общепринятой форме  у = g(х).

Если функции  у = f(х)  и  у = g(х)  являются взаимно обратными, то область определения функции  f  совпадает с множеством значений функции  g  и, наоборот, область определения функции  g  совпадает с множеством значений функции  f, то есть

D(f) = E(g)  и  D(g) = E(f).

Всякая возрастающая функция обратима.

Функция, обратная возрастающей, является возрастающей.

Всякая убывающая функция обратима.

Функция, обратная убывающей, является убывающей.

Если некоторое отношение  f  задано уравнением с двумя переменными  х  и  у, то для задания уравнением отношения, обратного  f, достаточно в данном уравнении поменять обозначения  х  на  у  и  у  на  х.

ПРИМЕР:

Функция  f, заданная формулой 

у = –2х + 3,

убывающая. Поэтому она обратима. Обратная ей функция также убывающая.

Чтобы задать формулой функцию, обратную  f, поменяем в уравнении

у = –2х + 3,

обозначения  х  на  у  и  у  на  х. Получим уравнение

х = –2у + 3,

Обычно при задании функции уравнением с переменными  х  и  у  переменную  у  выражают через переменную  х.

В данном случае имеем:

2у = –х + 3,

у = –0,5х + 1,5.

Мы получили формулу, которой задаётся функция, обратная  f.

ПРИМЕР:

Пусть  дана функция:

у = 3х – 2.

Если определить  х  через  у  и в полученном равенстве вместо  х  написать  у, а вместо  у  написать  х, будем иметь:

Эта  функция, обратная данной. Данную функцию также можно назвать обратной по отношению к полученной. Эти функции взаимно обратные.

ПРИМЕР:  

Для функции, заданной равенством:

у = х²

На

(–∞; +∞ ),

обратной не существует. А для функции:

у = х²

заданной на промежутке 

[0; +∞),

обратная функция существует.

Найдите функцию, обратную данной функции

у = ¹/₆ х – 7.

РЕШЕНИЕ:

у = ¹/₆ х – 7,

6у = х – 42,

х = 6у + 42.

Обратной будет функция

у = 6х + 42.

ПРИМЕР:

Найдите функцию, обратную данной функции

у = ¹/₃ х + 2.

РЕШЕНИЕ:

у = ¹/₃ х + 2,

3у = х + 6,

х = 3у – 6.

Обратной будет функция

у = 3х – 6.

ПРИМЕР:

Найдите функцию, обратную данной функции

РЕШЕНИЕ:

Обратной будет функция

ПРИМЕР:

Найдите функцию, обратную данной функции

РЕШЕНИЕ:

Обратной будет функция

График обратной функции.

ПРИМЕР:

На рисунках изображены графики функций  g и h.

Функция  g  обратима, так как нет такого значения функции, которое соответствовало бы различным значениям аргумента (любая прямая, параллельная оси  х, пересекает график не более чем в одной точке).

Функция  h  необратима, так как существует такое значение функции, например  у = 3, которое соответствует трём различным значениям переменной  х  (прямая  у = 3  пересекает график в трёх точках).

Графики двух взаимно обратных функций симметричны друг к другу относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть относительно прямой  у = х.

Если точка  (х; у)  принадлежит графику функции  у = f(х), то точка  (у; х)  принадлежит графику обратной функции. Поэтому график обратной функции получается из графика функции  у = f(х)  с помощью преобразования плоскости  ху, переводящего точки  (у; х)  в точки  (х; у). Этим преобразованием является преобразование осевой симметрии относительно прямой  у = х (ось симметрии).

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции  у = f(х), надо график функции  у = f(х)  подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой  х = у.

Если  у = хⁿ, где  х ≥ 0, n – натуральное, n ˃ 1, то

Поменяв  х  и  у  местами, получим

Графики двух взаимно обратных функций  у = хⁿ  и

симметричны относительно прямой  у = х.

Задания к уроку 16

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 6. Аналитический способ задания функции
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 18. График линейной функции
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 24. Квадратичная функция
• Урок 25. График функции  у = aх² + b
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 29. Функция  y = хⁿ и её график
• Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований