Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 30 мая 2017 г.

Урок 17. Линейная функция

Много функций, которые приходится исследовать, можно записать формулой 

у = ах + b,

где  а  и  b – данные числа. Такие функции называются линейными. 

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида
где  х – аргумент,  а  и  b – данные числа.

Число  а  называют угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла  α  между прямой и положительным лучjм оси  х, то есть  a = tg α.

Линейная функция определена на множестве всех действительных чисел. При  а ˃ 0  она возрастает, а при  а < 0 – убывает. При  а = 0  линейная функция чётная, ограниченная, периодическая. Периодом её можно считать любое положительное число, однако наименьшего периода не существует. При  а ≠ 0  линейная функция не периодична, неограниченна; она не является ни чётной, ни нечётной, если  b ≠ 0, а при  b = 0  она нечётная.

ПРИМЕР:

На шоссе расположены пункты  А  и  В, удалённые друг от друга на  20 км. Мотоциклист выехал из пункта  В  в направлении, противоположном  А, со скоростью  50 км/час. За  час  мотоциклист проедет  50 км и будет находиться от  А  на расстоянии

50t + 20 (км).

Если обозначить буквой    расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта  А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой

S = 50t + 20,   где  t ≥ 0.

ПРИМЕР:

Учение купил тетради по  3 коп. за штуку и ручку за  35 коп. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей. Обозначим число купленных тетрадей буквой  х, а стоимость покупки (в копейках) буквой  у. Получим:

у = 3х + 35,

где  х – натуральное число.

В обоих примерах мы встретились с функциями, заданными формулами вида

у = ах + b,

где  х – независимая переменная, а  и  b – числа.
Такие функции называются линейными.

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки:

А(–1; 4)  и  В(–3; –2).

РЕШЕНИЕ:

у = ах + b.

Подставим координаты точек.

Найдём разность между первым и вторым уравнением:

–а + b – (–3а + b) = 4 – (–2), 

–а + b + 3а – b = 4 + 2,

2а = 6,  а = 3.

Найдём сумму между первым и вторым уравнением:

–а + b + (–3а + b) = 4 + (–2), 

–а + b – 3а + b = 4 – 2,

–4а + 2b = 2,  –2а + b = 1,

Подставим вместо  а = 3, получим:

–2 ∙ 3 + b = 1,

откуда  b = 7.

ОТВЕТ:  у = 3х + 7

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки:

С(–3; 12)  и  D(1; 4).

РЕШЕНИЕ:

у = ах + b.

Подставим координаты точек.
Найдём разность между первым и вторым уравнением:

–3а + b – (а + b) = 12 – 4, 

–4а = 8,  а = –2.

Найдём сумму между первым и вторым уравнением:

–3а + b + (а + b) = 12 + 4,

–3а + b + а + b = 16,

–2а + 2b = 16,

–а + b = 8.

Подставим вместо  а = –2, получим:

–2 + b = 8,

откуда  b = 6.

ОТВЕТ:  у = –2х + 6

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

А(2; –7).

и образует с положительным направлением оси абсцисс угол  45°.

РЕШЕНИЕ:

у = tg 45°х + b.

Так как тангенс сорока пяти градусов равен  1, то получим следующее уравнение:

у = х + b.

Подставляем вместо  х  число  2, а вместо  у  число  –7, получим:

–7 = 2 + b.

Откуда  b = –9.

ОТВЕТ:  у = х – 9



   

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

В(3√͞͞͞͞͞3; 8).

и образует с положительным направлением оси абсцисс угол  30°.

РЕШЕНИЕ:

у = tg 30°х + b.

Так как тангенс тридцати градусов равен
то получим следующее уравнение:
Подставляем вместо  х  число  3√͞͞͞͞͞3, а вместо  у  число  8, получим:
Откуда  b = 5.
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

А(√͞͞͞͞͞3; 5).

и образует с положительным направлением оси абсцисс угол  60°.

РЕШЕНИЕ:

у = tg 60°х + b.

Так как тангенс шестидесяти градусов равен  √͞͞͞͞͞3 , то получим следующее уравнение:

у = √͞͞͞͞͞3 х + b.

Подставляем вместо  х  число  √͞͞͞͞͞3, а вместо  у  число  5, получим:

5 = √͞͞͞͞͞3 ∙√͞͞͞͞͞3 + b,  5 = 3 + b.

Откуда  b = 2.

ОТВЕТ:  у = √͞͞͞͞͞3 х + 2

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

В(–3; 8)

и образует с положительным направлением оси абсцисс угол  135°.

РЕШЕНИЕ:

у = tg 135°х + b.

Так как тангенс ста тридцяти пяти градусов равен  –1, то получим следующее уравнение:

у = –х + b.

Подставляем вместо  х  число  –3, а вместо  у  число  8, получим:

8 = –(–3) + b.

Откуда  b = 5.

ОТВЕТ:  у = –х + 5

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

М(–1; 6)

и параллельной прямой

у = –5х + 3.

РЕШЕНИЕ:

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Тогда уравнение прямой будет следующее:

у = –5х + b.

Подставляем вместо  х  число  –1, а вместо  у  число  6, получим:

6 = (–5) ∙ (–1) + b,  6 = 5 + b.

Откуда  b = 1.

ОТВЕТ:  у = –5х + 1

ПРИМЕР:

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку

Р(2; –5)

и параллельной прямой

у = –0,5х + 9.

РЕШЕНИЕ:

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Тогда уравнение прямой будет следующее:

у = –0,5х + b.

Подставляем вместо  х  число  2, а вместо  у  число  –5, получим:

–5 = (–0,5) ∙ 2 + b,  –5 = –1 + b.

Откуда  b = –4.

ОТВЕТ:  у = –0,5х – 4

ПРИМЕР:

Определите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением:

3х – у = 7.

РЕШЕНИЕ:

3х – у = 7,  у = 3х – 7,

Откуда угловой коэффициент равен  а = 3.

ПРИМЕР:

Через какую точку проходит график уравнения ?

3у – 5х = 5.

РЕШЕНИЕ:

Через точку  (2; 5) так как

3 ∙ 5 – 5 ∙ 2 = 5.
Задания к уроку 17
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий