Урок 18. Графік лінійної функції

Графіком лінійної функції є пряма.

І кожна пряма на координатній площині, не перпендикулярна осі абсцис і що не проходить через початок координат, – графік лінійної функції.

Розглянемо питання графіку лінійної функції. При цьому ми припускатимемо, що область визначення функції складається з усіх чисел

Для побудови графіку лінійної функції, досить знайти координати двох точок графіку, відмітити ці точки в координатній площині і провести через них пряму.

Графіком лінійної функції 

y = аx + b 

є пряма лінія, яка проходить через точку 

М(0; b) 

паралельно до графіка функції

у = ах.

На малюнку

зображено графік функції

y = аx + b.

Це пряма, паралельна прямий, що є графіком  y = аx, і проходить через точку  (0; b)  на осі ординат.

Число  а  називають кутовим коефіцієнтом прямої, воно дорівнює тангенсу кута між прямий і позитивним променем осі  х, тобто  а = tg α.

ПРИКЛАД:

Построить график функции:

у = –0,5х + 4.

РЕШЕНИЕ:

Графиком линейной функции является прямая, а для построения прямой достаточно знать две точки графика. Заполним таблицу.

Аргументу  х  дали значение  0  и  4  и по формуле

у = –0,5х + 4

нашли соответствующие значения  у. Отметим на координатной плоскости точки  (0; 4)  и  (4; 2)  и проведём через эти точки прямую линию.

ПРИКЛАД:

Якщо  а = 0, графік лінійної функції є пряма, паралельна до осі абсцис, яка проходить через точку  b  на осі ординат. Коефіцієнт  a  (кутовий коефіцієнт) характеризує кут, який утворює графік функції з додатним напрямком осі  Ох.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

y = 2x + 3.

Функція  y = 2x + 3  лінійна, тому її графіком є пряма. Використовуючи формулу  y = 2x + 3, знайдемо координати двох точок графіку:

якщо  х = –2,  то 

у = 2 × (–2) + 3 = –1,

якщо  х = 1,  то 

у = 2 × 1 + 3 = 5.

Відмітимо точки 

А(–2; –1)  і  В(1; 5).

Проведемо через ці точки пряму. Пряма  АВ  є графік функції

y = 2x + 3.

При побудові графіку лінійної функції часто буває зручно в якості однієї з точок брати точку з абсцисою  0.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

y = –0,8x + 1.

Знайдемо координати двох точок графіку:

якщо  х = 0,  то 

у = –0,8 × 0 + 1 = 1,

якщо  х = 5,  то 

у = –0,8 × 5 + 1 = –3.

Відмітимо точки

М(0; 1)  і  К(5; –3).

Проведемо через ці точки пряму. Пряма  МК  є графік функції

y = –0,8x + 1.

При  а = 0  формула

y = аx + b 

якій задається лінійна функція, має вигляд

y = 0x + b 

тобто  y = b. 

Лінійна функція, що задається формулою

y = b,

набуває одно і те ж значення при будь-якому  х.

Якщо  а = 0, графік лінійної функції буде пряма, паралельна до осі абсцис, яка проходить через точку  b  на осі ординат. Лінійна функція, що задається формулою  y = b, приймає те саме значення при будь-якому  х.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = –2.

Будь-якому значенню  х  відповідає одно і теж значення  у, рівне  –2. Відмітимо дві які-небудь точки з ординатою  –2, наприклад 

P(0; –2)  и  N(4; –2),

і проведемо через них пряму.

Пряма  PN  –  графік лінійної функції

у = –2.

Якщо область визначення лінійної функції складається не з усіх чисел, то її графік є відповідною частиною прямої. Наприклад, це може бути напівпряма або відрізок.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік лінійної функції:

у = –2х + 1,

х ∈ [–3; 2].

Складемо таблицю значень функції:

побудуємо на координатній площині точки

(–3; 7),  (2; –3)

і проведемо через них пряму. Далі виділимо відрізок, що сполучає побудовані точки. Цей відрізок і є графік лінійної функції:

у = –2х + 1,

х ∈ [–3; 2].

Точки  на малюнку відмічені темними точками.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік лінійної функції:

у = –2х + 1,

х ∈ (–3; 2).

Складемо таблицю значень функції:

побудуємо на координатній площині точки

(–3; 7),  (2; –3)

і проведемо через них пряму. Далі виділимо відрізок, що сполучає побудовані точки. Цей відрізок і є графік лінійної функції:

у = –2х + 1,

х ∈ (–3; 2).

Значення

х = –3  і  х = 2

не розглядаються, оскільки вони не належать інтервалу (–3; 2).

Тому точки

(–3; 7)  и  (2; –3)

на малюнку відмічені світлими кружечками.

ПРИКЛАД:

Яка з точок належить графіку функції ?

у = 3 – 4х

А(0; 4), B(1; 3),

C(1; –1), D(3; 2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіку функції у = 3 – 4х   належить точка  С(1; –1), бо 

–1 = 3 – 4 ∙ 1,

ПРИКЛАД:

Укажіть рівняння прямої, паралельної осі ординат.

х + у = 1,

х – у = 1,

х – 1 = 0,

у + 1 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Паралельною до осі ординат є пряма

х – 1 = 0.

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, зображеної на рисунку.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = ах + b,  а = tg 120° = –√͞͞͞͞͞3 ,

у =  –√͞͞͞͞͞3х +b , 0 = –√͞͞͞͞͞3 ∙ 2 + b, b = 2√͞͞͞͞͞3,

у = –√͞͞͞͞͞3 x + 2√͞͞͞͞͞3 .

ПРИКЛАД:

Через яку з точок проходить графік функції

у = 0,8х + 4 ?

А(0; 4), B(1; 3),

C(5; 8), D(3; 2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Через точку  C(5; 8), бо якщо  х = 5, то

у = 0,8 ∙ 5 + 4 = 8, 8 = 8.

ПРИКЛАД:

Знайдіть точку перетину графіка функції

у = 5х – 20

з віссю ординат.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х = 0, у = 5 ∙ 0 – 20 = –20,

тому точка перетину (0; –20).

ПРИКЛАД:

Через яку точку проходить графік рівняння ?

у = 3х – 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Через точку  C(1; –1), бо якщо  х = 1, то

у = 3 ∙ 1 – 4 = –1, 8 = 8.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

|х + у| = 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використавши означення модуля, отримаємо:

 1) якщо  х + у ≥ 0, у ≥ –х, то 

х + у = 4, у = –х + 4

і графіком цієї функції є пряма, яка проходить через точки (0; 4)   і  (4; 0).

 2) якщо  х + у < 0, у < –х, то 

х + у = –4, у = –х – 4

і графіком цієї функції є пряма, яка проходить через точки (0; –4)   і  (–4; 0).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

|х – у| = 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використавши означення модуля, отримаємо:

 1) якщо  х – у = 3, у = х – 3.

Графіком цієї функції є пряма, яка проходить через точки (0; –3)   і  (3; 0).

 2) якщо  х – у = –3, у = х + 3, то 

Графіком цієї функції є пряма, яка проходить через точки (0; 3)   і  (–3; 0).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції зображено на рисунку.

Функція спадає на проміжку  (–∞; +∞), проміжків зростання немає.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції зображено на рисунку.

Функція зростає на проміжку  (–∞; +∞), проміжків спадання немає. зображено на рисунку.

Завдання до уроку 18

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень