Урок 28. Функція у = √͞͞͞͞͞х і її графік

четверг, 9 августа 2018 г.

Урок 28. Функція у = √͞͞͞͞͞х і її графік

Функція у = √͞͞͞͞͞х і її властивості.

Розберемо функцію. Так як х лежить під коренем, то він може набувати лише невід’ємних значень. Також і має бути більшим або рівним нулю.

– область визначення – промінь [0; + ∞), це випливає з того, що вираз √͞͞͞͞͞х визначено лише при х ≥ 0;

– множина значень функції є проміжок [0; + ∞);

– значення функції у = 0 є найменшим, а найбільшого значення функція не має;

– функція у = √͞͞͞͞͞х ні парна, ні непарна;

– функція неперіодична;

– точка (0; 0) є нулем функції;

– функція у = √͞͞͞͞͞х монотонно зростає на ділянці визначення [0; + ∞).

– функція набуває позитивних значень на проміжку [0; + ∞).

Графік функції у = √͞͞͞͞͞х .

Побудуємо графік функції

у = √͞͞͞͞͞х .

Оскільки вираження √͞͞͞͞͞х має сенс при х > 0, то областю визначення функції у = √͞͞͞͞͞х служить безліч ненегативних чисел.

Складемо таблицю значень функції у = √͞͞͞͞͞х (наближені значення у для значень х, цілих чисел, що не є квадратами, можна знайти за допомогою калькулятора):

Дробові значення тут наближені. Побудуємо в координатній площині точки, координати яких вказані в таблиці. Провівши від початку координат через ці точки плавну лінію, отримаємо графік функції

у = √͞͞͞͞͞х

Властивості функції у = √͞͞͞͞͞х .

– якщо х = 0, то у = 0, тому початок координат належить графіку функції;

– якщо х > 0, то у > 0; графік розташований в першій координатній чверті;

– більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції; графік функції йде вгору.

Графік функції у = √͞͞͞͞͞х , як і графік функції у = х², де х ≥ 0, є гілка параболи. Це витікає з того, що ці графіки симетричні відносно прямої у = х. Доказ симетрії графіків ґрунтований на тому, що точки з координатами (a; b) і (b; a) симетричні відносно прямої у = х.

ПРИКЛАД:

Якім координати точки перетину графіків функцій
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для знаходження абсциси точки перетину розв’яжемо рівняння:

х ≥ 0, х₁ = –2, х₂ = 1.

Звідси х = 1, тоді у = 1, тому точка перетину (1; 1).

ВІДПОВІДЬ: графіки перетинаються в точці (1; 1)

ПРИКЛАД:

Якім координати точки перетину графіків функцій ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для знаходження абсциси точки перетину розв’яжемо рівняння:

х ≥ 0, х₁ = –3, х₂ = 1.

Звідси х = 1, тоді у = 1, тому точка перетину (1; 1).

ВІДПОВІДЬ: графіки перетинаються в точці (1; 1)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графік функції складається з

частини прямої у = х + 2 для х ≤ –1,

частини параболи у = х² для –1< х < 1 і

частини графіка функції у = √͞͞͞͞͞х для х ≥ 1.

Функція зростає на проміжках (–∞; –1] і [0; +∞) і спадає на проміжку [–1; 0].

ВІДПОВІДЬ:

проміжки зростання – (–∞; –1] і [0; +∞),

проміжок спадання – [–1; 0].
ПРИКЛАД:

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій

у = √͞͞͞͞͞x і у = 6 – х.

За допомогою графіків укажіть значення х, при яких значення функції у = 6 – х більші за значення функції у = √͞͞͞͞͞x .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будуємо графік функції у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0; +∞) і пряму, яка є графіком функції у = 6 – х. Координати точок перетину графіків знайдемо із системи
Звідси 6 – х = √͞͞͞͞͞x.

Нехай √͞͞͞͞͞x = t > 0. Одержимо:

6 – t² = t,

t² + t – 6 = 0,

t₁ = –3 не задовольняє умову t > 0,

t₂ = 2, √͞͞͞͞͞x = 2,

х = 4, у = 2,

А(4; 2).

Значення функції у = 6 – х більша від значень функції у = √͞͞͞͞͞x, якщо х ∈ [0; 4).

ВІДПОВІДЬ: [0; 4)

ПРИКЛАД:

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій

у = √͞͞͞͞͞x і у = 2 – х.

За допомогою графіків укажіть значення х, при яких значення функції у = √͞͞͞͞͞x більші за значення функції у = 2 – х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки зображено на рисунку.
√͞͞͞͞͞x > 2 – х на проміжку (1; +∞).

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть графічно рівняння

√͞͞͞͞͞x = ⁸/_х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки функцій √͞͞͞͞͞x та ⁸/_х зображено на рисунку.

Точкою перетину даних графіків є точка А(4; 2). Тому розв’язком рівняння є х = 4.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть графічно рівняння

√͞͞͞͞͞x = ¹/_х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіки функцій √͞͞͞͞͞x та ¹/_х зображено на рисунку.

Точкою перетину даних графіків є точка А(1; 1). Тому розв’язком рівняння є х = 1.

Перерахувати властивості функції.

– область визначення функції – вся числова пряма;

– функція непарна, оскільки
– функція зростає на всій числовій прямій.

Для побудови графіка функції складемо таблицю кубічних коренів (наближені значення):

Нанесемо отримані точки на координатну площину та з'єднаємо їх плавною кривою. Потім до побудованої гілки додамо гілка, симетричну їй щодо початку координат. Отримаємо графік функції