Урок 14. Симетричні функції

вторник, 9 мая 2017 г.

Урок 14. Симетричні функції

Якщо функція має вісь симетрії, то при виборі координатної системи намагаються зазвичай поєднати одну з координатних осей з віссю симетрії.

Якщо є дві взаємно перпендикулярні осі, то природно поєднати з ними обидві координатні осі.

Якщо є центр симетрії, доцільно поєднати з ним початок координат.

кщо функція має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, точка їх перетину є центром симетрії.

Зворотне твердження не так: із існування центру симетрії не випливає існування хоча б навіть однієї осі симетрії (наприклад, функція у = х³).

Дуже важливо при побудові за точками функцій у = f(х) вміти користуватися ознаками того, що:

– вісь Ох є вісь симетрії;

– вісь Оу є вісь симетрії;

– початок координат О є центр симетрії.

Якщо крива у = f(х) не змінюється при заміні у на –у, то вісь Ох є вісь симетрії функції.

ПРИКЛАД:

у² = 2рх – вісь симетрії Ох, так як

(–у)² = 2рх.

Графік функції

у = – f(х)

може бути отриманий з графіку функції

у = f(х)

симетричним відображенням відносно осі Ох.

ПРИКЛАД:

у² = 3х² – х + 1.

Функція симетрична відносно осі х-ов, оскільки

(–у)² = у².

ПРИКЛАД:

| у | = 2х – 3.

Функція симетрична відносно осі х-ов, оскільки

| у | = | –у |.

Якщо функція у = f(х) не змінюється при заміні х на –х, то вісь Оу є вісь симетрії кривої.

ПРИКЛАД:

у = х² – вісь симетрії Оу, так як

у = (–х)².

Графік функції

у = f(–х)

може бути отриманий з графіку функції

у = f(х)

симетричним відображенням відносно осі Оу.

ПРИКЛАД:

Якщо функція не змінюється при одночасної заміні х на –х і у на –у, то початок координат О є центр симетрії функції у = f(х).

ПРИКЛАД:

у = рх, –у = р(–х),

–у = –рх, у = рх,

Якщо функція не змінюється при одночасної заміні х на –х і у на –у, то початок координат О є центр симетрії функції у = рх.

Якщо крива має осями симетрії обидві осі координат Ох і Оу, вона має початок координат О центром симетрії.

Справді, якщо крива не змінюється при заміні х на –х і не змінюється при заміні у на –у, то вона не зміниться і при одночасної заміні х на –х і у на –у.

ПРИКЛАД:
при а = 2 і b = 3 отримаємо наступний графік:

Осі симетрії Ох та Оу, початок координат О – центр симетрії.
Якщо функція у = f(х) не змінюється при заміні х на у, а у на х, то бісектриса основного координатного кута х = у є вісь симетрії функції.

Це справедливо лише за умови, що на обох осях обрано однакові масштаби.

ПРИКЛАД:

х³ + у³ = ху.

Центр симетрії О та бісектриса основного координатного кута (синя лінія).
Завдання до уроку 14

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 9 мая 2017 г.