Урок 26. Графік функції у = a(х – m)2 + n | Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 4 июля 2018 г.

Урок 26. Графік функції у = a(х – m)2 + n

Розглянемо перетворення графіку функції у = f(х). Ця побудова графіка функції

у = f(х – m).

Графік функції у = f(х – m) виходить з графіку функції у = f(х) за допомогою паралельного перенесення уздовж осі абсцис на m одиниць. Управо при m > 0 і вліво при m < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = (х + 1)².

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Запишемо функцію у виді

у = (х – (–1))².

Тоді графік функції

у = (х + 1)²

виходить з графіку функції у = х² паралельним перенесенням уздовж осі абсцис на 1 одиницю вліво, т. к. m = – 1 < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = 2(х – 6)².

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Це означає, що парабола, яка є графіком функції

у = 2х²,

переміщається на шість одиниць управо уздовж осі х (на графіці – червона парабола).

З попередніх перетворень виходить, що графік функції

у = f (х – m) + n

виходить з графіку функції

у = f(х)

за допомогою двох паралельних перенесень: зрушення уздовж осі абсцис на m одиниць (управо при m > 0 і вліво при m < 0) і зрушення уздовж осі ординат на n одиниць (вгору при n > 0 і вниз при n < 0). Ці зрушення можна виконати у будь-якому порядку: спочатку уздовж осі абсцис, а потім уздовж осі ординат або навпаки.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = –0,5(х – 2)² + 1.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Очевидна наступна послідовність перетворень графіку:

будуємо графік функції

у = х².

Отримуємо з нього графік функції

у = –х²

(перетворення перше – симетрія відносно осі абсцис).

будуємо графік функції

у = –0,5х²

(перетворення друге – стискування попереднього графіку в два рази уздовж осі ординат).

Отримуємо з нього графік функції

у = –0,5х² + 1

(перетворення третє – зрушення на одну одиницю вгору);

будуємо графік функції

у = –0,5(х –2)² + 1

(перетворення четверте – зрушення попереднього графіку на дві одиниці управо).

Після виконання цих побудов отримуємо остаточний графік. На малюнку приведені: початковий етап побудови – графік функції у = х² і кінцевий етап – графік

у = –0,5(х –2)² + 1.

Графіком функції

у = a(х – m)² + n

являється парабола, конгруентна параболі

у = aх²,

вершиною якої служить точка з координатами

(m; n),

а віссю симетрії – пряма

х = m.

При а ˃ 0 гілки параболи спрямовані вгору, а при а < 0 – вниз.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = 2(х – 4)² + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Крок 1.

Будуємо графік функції

у = х².

Крок 2.

Розтягуванням графіка функції у = х² від осі Ох в 2 рази, отримаємо графік функції

у = 2х².

Крок 3.

Здійснюємо перенесення цього графіка паралельно осі абсцис праворуч на 4 одиниці масштабу. Одержимо графік функції

у = 2(х – 4)².

Крок 4.

Виконаємо перенесення останнього графіка паралельно осі ординат вгору на 3 одиниці масштабу. Отримаємо графік функції

у = 2(х – 4)² + 3.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = 0,5(х + 2)² – 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Крок 1.

Будуємо графік функції

у = х².

Крок 2.

Стисненням графіка функції у = х² до осі абсцис в 2 рази, отримаємо графік функції

у = 0,5х².

Крок 3.

Здійснюємо перенесення цього графіка паралельно осі абсцис ліворуч на 2 одиниці масштабу. Одержимо графік функції

у = 0,5(х + 2)².

Крок 4.

Виконаємо перенесення останнього графіка паралельно осі ординат донизу на 4 одиниці масштабу. Отримаємо графік функції

у = 0,5(х + 2)² – 4.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = –3(х + 1)² + 3,5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Крок 1.

Будуємо графік функції

у = х².

Крок 2.

Розтягуванням графіка функції у = х² до осі абсцис в 3 рази, отримаємо графік функції

у = 3х².

Крок 3.

Виконаємо симетричне відображення графіка відносно осі Ох. Отримаємо графік функції

у = –3х².

Крок 4.

Здійснюємо перенесення цього графіка паралельно осі абсцис ліворуч на 1 одиниці масштабу. Одержимо графік функції

у = –3(х + 1)².

Крок 5.

Виконаємо перенесення останнього графіка паралельно осі ординат вгору на 3,5 одиниці масштабу. Отримаємо графік функції

у = –3(х + 1)² + 3,5.

ПРИКЛАД:

Якого найменшого значення набуває вираз

(х + 4)(х² – 4х + 16) – (х²– 6)(х – 1)

і при якому значенні х ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х + 2)(х² – 2х + 6) – (х²– 6)(х – 1) =

= х³ – 2х² + 6х + 2х² – 4х + 12 – х³ + х² + 6х – 6 =

= 6х – 4х + 12 + х² + 6х – 6 =

= х² – 8х + 6 = х² + 8х + 16 – 10 =

= (х + 4)² – 10.

Графічний спосіб розв'язання.

Побудуємо графік функції:

у = (х + 4)² – 10.

З графіка видно, що дана функція набуває найменшого значення при х = –4 і у = –10.

Аналітичний спосіб вирішення.

Даний вираз набуває найменшого значення, коли х + 4 = 0, тобто коли х = –4. Це значення дорівнює –10.

ВІДПОВІДЬ: найменше значення виразу дорівнює –10 при х = –4.

ПРИКЛАД:

Дослідити на екстремум функцію

у = х² – 2х + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = х² – 2х + 5 =

= х² – 2х + 1 + 4 =

= (х – 1)² + 4.

Графічний спосіб розв'язання.

Побудуємо графік функції:

у = (х – 1)² + 4.

З графіка видно, що ця функція в точці х = 1 має мінімум. Максимуму функція не має.

Аналітичний спосіб вирішення.

Вираз

(х – 1)²

завжди додатний і тільки при х = 1 дорівнює нулю.

Отже, в точці х = 1 дана функція має мінімум. Максимуму функція не має.

Завдання до уроку 26

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 4 июля 2018 г.