Урок 15. Парні і непарні функції

понедельник, 29 мая 2017 г.

Урок 15. Парні і непарні функції

Функція називається парною, якщо будь-яким протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції.

Інакше: якщо для будь-яких x

f(–x) = f(x),

то функція f(x) називається парною.

ПРИКЛАД:

Функції

у = х², у = х⁴, у = х⁴ – парні, оскільки за будь-яких х:

(–х)² = х², (–х)⁴ = х⁴, (–х)⁶ = х⁶.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Якщо будь-яким протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції, то така функція називається непарною.

Інакше: функція f(x) називається непарною, якщо при будь-яких значеннях x

f(–x) = – f(x).

ПРИКЛАД:

Функції

у = х³, у = х⁵, у = х⁷ – непарні, оскільки за будь-яких х:

(–х)³ = –х³, (–х)⁵ = –х⁵, (–х)⁷ = –х⁷.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

З визначення випливає, що область визначення Х як парної, так і непарної функції повинна мати таку властивість:

якщо х ∈ Х то й –х ∈ Х (тобто Х – симетрична щодо 0 безліч).

Існують функції не парні і не непарні.

Якщо функція у = f(x) така, що хоча б для однієї пари значень х і –х виявилося, що f(–x) ≠ – f(x) і хоча б для однієї пари значень х і –х виявилося, що f(–x) ≠ f(x), то функція не є ні парною, ні непарною.

ПРИКЛАД:

Функціями загального виду будемо називати функції, що не відносяться ні до парних, ні до непарних.

ПРИКЛАД:

Досліджувати на парність і непарність функцію:

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

D(f):

x³ – x ≠ 0,

x(x² – 1) ≠ 0,

x ≠ 0, x ≠ ±1.

D(f) =

(–∞; –1) ∪ (–1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞) –

симетрична відносна нуля.

Функція f(x) – парна.

ПРИКЛАД:

Досліджувати на парність і непарність функцію:

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

симетрична відносна нуля.

Функція не є ні парною, ні непарною.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = х²⁰.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо

f(x) = х²⁰, f(–x) = (–x)²⁰ = х²⁰.

Значить f(–x) = f(x) для всіх х. Функція є парною.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = х¹³.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо

f(x) = х¹³, f(–x) = (–x)¹³ = –х¹³.

Значить f(–x) = –f(x) для всіх х. Функція є непарною.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо
Зауважимо, що f(4) = 0, а f(–4) = –⁸/₇. Не виконується ані рівність f(4) = f(–4), ані рівність f(–4) = – f(4). Отже, функція не є ні парною ні непарною.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = |х|.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо

f(–x) = |–х| = |х| = f(x).

Отже, функція парна, тому її графік симетричний щодо осі ординат.

Якщо х ≥ 0, то |х| = х, тобто при х ≥ 0 маємо у = х. Графіком функції у = х при х ≥ 0 служить бісектриса першого координатного кута. Піддавши її перетворенню симетрії щодо осі у, отримаємо графік функції у = |х|.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = х|х|.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо

f(–x) = (–x)|–х| = –x|х| = –f(x).

Отже, функція непарна, тому її графік симетричний щодо початку координат.

Якщо х ≥ 0, то |х| = х, а

f(x) = x∙|х| = х∙x = x².

Отже, при х ≥ 0 маємо у = х². Графіком буде гілка параболи. Вона зображена на малюнку.
Піддавши її перетворенню симетрії щодо початку координат, отримаємо графік функції у = x |х|.

Завдання до уроку 15

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 29 мая 2017 г.