Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежности

суббота, 12 августа 2017 г.

Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежности

Зворотна пропорційність є залежністю функції, при якій зміна незалежної величини (аргументу) тягне за собою пропорційну зміну залежної величини (функції).

Іншими словами, у скільки разів збільшується аргумент, у стільки ж разів зменшується функція, і, навпаки, у скільки разів зменшується аргумент, у стільки ж разів збільшується функція.

Залежність між величинами х і у, яку можна виразити формулою

де k – деяке задане число, називають обернено пропорціональною.

Тут

k, х, у

можуть бути не тільки позитивними числами, а й негативними.

Отже, змінна у обернено пропорційна до змінної х. Це сааме можна сказати про кожну функцію, задану формулою

Тут а, х, у можуть бути не лише додатними числами, а й від’ємними. Тому наведене тут визначення більш загальне, ніж наведене раніше.

Ця функція називається рівносторонньою гіперболою.

Властивості обернено пропорційної функції.

– область визначення – всі дійсні числа, крім значення х, що дорівнює нулю, тобто проміжок

D(–∞; 0) ∪ D(0; + ∞);

– безліч значень – усі числа, крім у = 0, тобто

Е(–∞; 0) ∪ Е(0; + ∞);

– у функції відсутні максимальне та мінімальне значення;
– функція непарна, її графік симетричний стосовно точці (0; 0), тобто початку координат;
– функція неповторна, отже, не є періодичною;

– графік не перетинає осі абсцис та ординат;

– функція немає нулів;

– при k ˃ 0 у функції у = ^k/_xна проміжках від –∞ до 0 та від 0 до +∞ спостерігається зростання;

– функція у = ^k/_x (k ˃ 0) на проміжку від –∞ до 0 негативна, але в ділянці від 0 до +∞ – позитивна;

– функція у = ^k/_x (k < 0) на ділянці (0; + ∞) – менше нуля, а на проміжку (–∞; 0) – більше нуля.

ПРИКЛАД:

Вкажіть, яку з функцій можна назвати зворотною пропорційністю.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як функція зворотної пропорційності виглядає у вигляді дробу, в якому аргумент х обов'язково повинен бути в знаменнику, то це будуть такі дроби:

Завдання, що призводять до поняття зворотної пропорційності.

ЗАДАЧА:

Площа прямокутника зі сторонами х і у дорівнює S. Виразіть у через S і х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площа прямокутника виражається формулою S = ху.

Виразимо у через S і х: у = ^S/_х.

Якщо S = 6, то у = ⁶/_х.

Підставимо замість х такі числа, які вказані в таблиці, і знайдемо у.

З таблиці видно, що за збільшенні в кілька разів значення аргументу х відповідне значення функції у зменшиться в стільки ж разів.

ЗАДАЧА:

Площа прямокутника зі сторонами х і у дорівнює S. Виразіть у через S і х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площа прямокутника виражається формулою S = ху.

Виразимо у через S і х: у = ^S/_х.

Якщо S = 24, то у = ²⁴/_х.

Підставимо замість х такі числа, які вказані в таблиці, і знайдемо у.

ЗАДАЧА:

Пішохід шлях S проходить зі швидкістю v за t годин. Виразіть час пішохода через шлях та швидкість.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відстань, пройдена пішоходом, виражається такою формулою S = vt.

Виразимо t через S і v: t = ^S/_v.

Якщо S = 3, то t = ³/_v.

Підставимо замість v наступні числа, які вказані в таблиці, та знайдемо t.

ЗАДАЧА:

Пішохід шлях S проходить зі швидкістю v за t годин. Виразіть час пішохода через шлях та швидкість.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відстань, пройдена пішоходом, виражається такою формулою S = vt.

Виразимо t через S і v: t = ^S/_v.

Якщо S = 60, то t = ⁶⁰/_v.

Підставимо замість v наступні числа, які вказані в таблиці, та знайдемо t.

З таблиці видно, що за збільшенні в кілька разів значення аргументу х відповідне значення функції у зменшиться в стільки ж разів.

Завдання до уроку 22

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 12 августа 2017 г.