воскресенье, 21 октября 2018 г.

Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень

Перетворення графіків функцій – це лінійні перетворення функції  

y = f(x)  

чи її аргументу  х  до виду

y = af(kx + b) + m,

а так само перетворення з використанням модуля.

Знаючи, як будувати графіки функції  y = f(x), де 

y = kx + b,
y = ax2,
y = xn,
y = k/x,
y = ax,
y = loga x,

можна побудувати графік функції

y = af(kx + b) + m.

ЗАГАЛЬНИЙ ВИГЛЯД ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУНКЦІЇ

Паралельне перенесення графіку уздовж осі абсцис на  |b|  одиниць.

Графік функції

y = f(x – b),

можна одержати із графіка функції  y = f(x)  за допомогою паралельного перенесення вздовж осі  х  на  b  одиниць праворуч, якщо  b < 0, і на  b  одиниць ліворуч, якщо  b ˃ 0.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (х + 2)3.

Будуємо графік функції  у = х3 і паралельно переносимо графік ліворуч на  2  одиниці вздовж осі  х  (оскільки  2 ˃ 0). Одержуємо графік функції

у = (х + 2)3.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (х – 3)2.

Будуємо графік функції  у = х2 і паралельно переносимо графік праворуч на  3  одиниці вздовж осі  х  (оскільки  –3 < 0). Одержуємо графік функції

у = (х – 3)2.
Паралельне перенесення графіку уздовж осі ординат на  |m|  одиниць.

Графік функції

y = f(x) + m

де  m ˃ 0, можна одержати із графіка функції  y = f(x)  за допомогою паралельного перенесення вздовж осі  у  на  m  одиниць угору, якщо  m ˃ 0, і на  m  одиниць униз, якщо  m < 0.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = х2 – 5.

Будуємо графік функції  у = х2 і паралельно переносимо графік униз  на  5  одиниць вздовж осі  у  (оскільки  –5 < 0). Одержуємо графік функції

у = х2 – 5.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.

Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х   і паралельно переносимо графік угору  на  4  одиниці вздовж осі  у  (оскільки  4 ˃ 0). Одержуємо графік функції

у = √͞͞͞͞͞х  + 4.
Відображення графіку.

y = f(–x)

Щоб побудувати графік функції  y = f(–x), необхідно симетрично відобразити графік функції  y = f(x)  відносно осі ординат.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = –х + 3.

Будуємо графік функції  у = х + 3  і відображаємо одержаній графік симетрично відносно осі  у  й одержуємо графік функції

у = –х + 3.
y = –f(x)

Щоб побудувати графік функції  y = –f(x), необхідно симетрично відобразити графік функції  y = f(x)  відносно осі абсцис.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = –(х – 3)2.

Будуємо графік функції  у = х2 і паралельно переносимо графік праворуч на  3  одиниці вздовж осі  х  (оскільки  –3 < 0). Одержуємо графік функції

у = (х – 3)2.

Відображаємо одержаній графік симетрично відносно осі  х  й одержуємо графік функції

у = –(х – 3)2.
Стискування і розтягування графіку.

y = f(kx)

При  k ˃ 1 – стискування графіку до осі ординат в  k  разів,
при  0 < k < 1 – розтягування графіку від осі ординат в  k  разів,

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (3х)2.

Будуємо графік функції  у = х2. Виконуємо стиск графіка функції    утричі до осі  у  й одержуємо графік функції

у = (3х)2.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції
Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х. Виконуємо розтяг графіка функції у 1/3   від осі  у  й одержуємо графік функції


y = kf(x)

При  k ˃ 1 – розтягування графіку від осі абсцис в  k  разів,
при  0 < k < 1 – стискування графіку до осі абсцис в  k  разів.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 3√͞͞͞͞͞х.

Будуємо графік функції  у = √͞͞͞͞͞х . Виконуємо розтяг графіка функції    удвічі від осі  х  й одержуємо графік функції

у = 3√͞͞͞͞͞х.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 1/3 х3.

Будуємо графік функції  у = х3. Виконуємо стиск графіка функції  у = х3   утричі до осі  х  й одержуємо графік функції
у = 1/3 х3.
Перетворення графіку з модулем.

у = | f(x)|

При  f(x) ˃ 0 – графік залишається без змін,
при  f(x) < 0 – графік симетрично відбивається відносно осі абсцис.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = |х2 – 6|.

Будуємо графік функції  у = х2. Паралельно переносимо графік униз на  6  одиниць вздовж оси  у  й одержуємо графік функції

у = х2 – 6.

Відображаємо симетрично відносно осі  х  ту частину графіка, яка міститься під віссю, й одержуємо графік функції

у = |х2 – 6|.
ПРИКЛАД

Побудувати графік функції

у = |х3|.

Відображаємо симетрично відносно осі  х  ту частину графіка, яка міститься під віссю, й одержуємо графік функції

у = |х3|.
у = f(|x|)

При  x ≥ 0 – графік залишається без змін,
при  x < 0 – графік симетрично відбивається відносно осі ординат.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = (|x| – 1)2.

Будуємо графік функції  у = х2 і паралельно переносимо графік праворуч на  1  одиницю вздовж осі  х  й одержуємо графік функції

у = (х – 1)2.

Залишаємо ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням  х. Симетрично відображаємо відносно осі  у  частину отриманого графіка для невід’ємних  х  й одержуємо графік функції

у = (|x| – 1)2.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 5|x| – 3.

Будуємо графік функції  у = 5х і паралельно переносимо графік праворуч на  3  одиницю вздовж осі  х  й одержуємо графік функції

у = 5x – 3.

Залишаємо ту частину графіка, яка відповідає невід’ємним значенням  х. Симетрично відображаємо відносно осі  у  частину отриманого графіка для невід’ємних  х  й одержуємо графік функції

у = 5|x| – 3.
Завдання до уроку 30
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий