Урок 4. Множини

вторник, 14 марта 2017 г.

Урок 4. Множини

Сталі і змінні величини.

Спостерігаючи будь-який процес, можна помітити, що одні величини, які трапляються в ньому, змінюють своє значення, інші – ні.

Величини, які в даному процесі весь час зберігають одне й те саме значення, називають сталими.

Величини, значення яких в даному процесі змінюються, називають змінними.

ПРИКЛАД:

Під час зльоту літака віддаль його від поверхні землі збільшується, кількість бензину в баках зменшується, а число пасажирів, довжина літака залишаються постійними.

Одна й та сама величина в одному процесі може бути сталою, а іншому – змінною. Однак, є такі величини, які залишаються сталими весь час.

ПРИКЛАД:

Відношення довжини кола до його радіуса.

Сума кутів трикутника.

Температура кипіння води.

Такі величини називають константами.

Звичайно сталі величини позначають першими буквами латинського алфавіту:

a, b, c, d,

а змінні – останніми:

x, y, z.

Змінна величина не завжди може набувати довільних значень. Вона набуває лише таких значень, які знаходяться в деяких допустимих для неї межах. Всі ті значення, яких величина може набувати в конкретних умовах розглядуваного процесу, називаються допустимими значеннями для даної змінної величини.

Відповідність між множинами.

ПРИКЛАД:

На малюнку зображені безлічі А – (візник; льотчик; шофер; космонавт) та В – (легковий автомобіль; вантажівка; літак; космічний корабель; паровоз). Крапки всередині замкнутої лінії зображують елементи цих множин.
Від деяких елементів множини А проведені стрілки до елементів множини В. Вважатимемо, що елементу множини А відповідає той елемент множини В, до якого від нього проведена стрілка. Шоферу відповідає легковий автомобіль, йому відповідає вантажівка, льотчику відповідає літак, космонавту - космічний корабель. Для візника в множині немає відповідного елемента, а в множині А немає елемента, якому відповідає паровоз. Кажуть, що між множиною А та множиною В встановлено відповідність.

ПРИКЛАД:

Хлопчики Коля, Валя, Женя та Саша склали графік чергування на тиждень:

За допомогою цього графіка ми можемо дізнатися, у які дні тижня чергує кожен із хлопчиків. Можна сказати, що графік чергувань встановлює відповідність між безліччю хлопчиків:

{Коля; Валя; Женя; Сашко}.

І безліччю днів тижня:

{пн.; вт.; ср.; чт.; пт.; сб.; нед.}.

Цю відповідність можна зобразити за допомогою стрілок.

Кожну стрілку можна замінити парою, вказавши на першому місці елемент множини М, що стоїть на початку стрілки, а на другому місці – елемент множини К, що стоїть наприкінці стрілки.

(Коля; пн.), (Валя; вт.), (Валя; пт.),

(Женя; сер.), (Женя; сб.), (Саша; чт.).

ПРИКЛАД:

Кожному двозначному числу, що належить множині

А = {25; 36; 42; 54; 61},

поставимо у відповідність суму його цифр:

25 7, 36 9; 42 6, 54 9, 61 7.

На малюнку показано відповідність між множиною А та множиною В, де

В = {7; 9; 6},

задане за допомогою стрілок.

ПРИКЛАД:

Дано дві множини:

А = {–18; –3; 43; 256}, В = {0; 1}

Встановіть яку-небудь відповідність:

– між множиною А і множиною В;

– між множиною В і множиною А.

Ця задача невизначена, бо між даними множинами можна встановити дуже багато різних відповідностей.

Наведемо два приклади відповідностей між А і В (мал. 1, 2) і два між В і А (мал. 3, 4).

Відповідності між множинами можна зображувати не тільки так, як на мал. 1 – 4

Зокрема, відповідність, подану на мал. 2 можна зобразити й інакше:

Можна й не малювати стрілок, а написати тільки впорядковані пари відповідних елементів

(–18; 0), (–3; 1), (43; 1), (256; 0),

або скористатися табличним завданням відповідності:

Сукупність усіх точок числової осі, ув'язнених між двома якими-небудь точками цієї осі, називається проміжком.

Крайні точки проміжку називаються кінцями проміжку.

Проміжок з включенням його кінців називається замкнутим або закритим проміжком, а також відрізком або сегментом.

Позначається:

від –1 до +1 або

[–1; 1].

Проміжок без включення його кінців називається відкритим проміжком або інтервалом.

Позначається:

(–1; 1).

Якщо один кінець приєднується до проміжку, а іншої немає, то такий проміжок, відкритий з одного боку і закритий з іншою, називається напіввідкритим проміжком або напівінтервалом.

Позначається:

(–1; 1] чи [–1; 1).

Об'єднання множин.

Об' єднанням двох множин А і В називається множина, кожний елемент якої належить хоча б одній з множин А і В.

Об'єднанням або сумою цих множин називається множина, що складається з усіх елементів, що належать хоч би одному з доданків. При цьому, навіть якщо елемент належить декільком доданкам, то він входить в суму лише один раз.

Об' єднання А і В позначається так:

А ∪ В.

ПРИКЛАД:

Об' єднанням відрізків

[0; 2] і [1; 3] є відрізок

[0; 3].

Перетин множин.

Перетином або загальною частиною множин називається множина, що складається з усіх тих елементів, які належать одночасно усім множинам. Якщо перетин множин порожній, то говорять, що ці множини не перетинаються.

Перетин А і В позначається так:

А ∩ В.

ПРИКЛАД:

Перетином відрізків

[0; 2] і [1; 3] є відрізок

[1; 2].

Порожня множина.

Порожня множина – множина що не містить жодного елементу.

Порожня множина позначається так:

∅.

Жодна множина не є елементом порожньої великої кількості. Порожня множина є підмножиною будь-якої великої кількості. Об'єднання порожньої великої кількості з будь-якою множиною дорівнює останньому. Перетин порожньої великої кількості з будь-якою множиною дорівнює порожній множині. Перетин будь-якої великої кількості з його доповненням дорівнює порожній множині

Завдання до уроку 4

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 14 марта 2017 г.