Уррк 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій

пятница, 7 июля 2017 г.

Уррк 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій

Графіки двох лінійних функцій є прямими, які або перетинаються, або паралельні.

Графіки двох лінійних функцій, заданих формулами виду

y = kx + b,

перетинаються, якщо коефіцієнти при х різні, і паралельні, якщо коефіцієнти при х однакові.

Доведемо це.

Нехай y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ – дві різні лінійні функції. Щоб з'ясувати, яке взаємне розташування їх графіків, розглянемо рівняння

k₁x + b₁ = k₂x + b₂

Маємо

k₁x – k₂x = b₂ – b₁,

(k₁ – k₂) x = b₂ – b₁.

Якщо k₁ ≠ k₂, це рівняння має єдиний корінь. І тут графіки функцій перетинаються.

Якщо k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂, то рівняння не має коріння. У цьому випадку графіки функцій паралельні.

ПРИКЛАД:

Дані графіки функцій, заданих формулами:

у = 0,9х – 1,

у = 0,8х + 1

з різними коефіцієнтами при х.

З'ясуємо, чи перетинаються ці графіки. Перетин графіків означає, що вони мають загальну точку. В цьому випадку знайдеться таке значення х, якому відповідає одно і те ж значення у для обох функцій. Щоб знайти це значення х, потрібно вирішити рівняння

0,9х – 1 = 0,8х + 1.

Маємо:

0,9х – 0,8х = 1 + 1,

0,1х = 2,

х = 20.

При х = 20 обидві функції

у = 0,9х – 1,

у = 0,8х + 1

набувають одно і те ж значення, рівного 17. Точка

(20; 17)

належить як одному, так і іншому графіку. Така точка тільки одна. Значить, прямі, що є графіками функцій

у = 0,9х – 1,

у = 0,8х + 1

перетинаються.

ПРИКЛАД:

Дані графіки функцій, заданих формулами:

у = 0,5х + 1,

у = 0,5х – 2

з однаковими коефіцієнтами при х.

Щоб з'ясувати, чи перетинаються графіки цих функцій, потрібно вирішити рівняння

0,5х + 4 = 0,5х – 2.

Оскільки це рівняння не має коренів, то прямі, які є графіками функцій

у = 0,5х + 1,

у = 0,5х – 2

Не мають загальних точок, т. е. вони паралельні.

ПРИКЛАД:

На малюнку зображені прямі, які є графіками лінійних функцій, заданих формулами виду

y = kx + b,

з однаковими коефіцієнтами при х і різними значеннями b.

Усі ці прямі паралельні і нахилені до осі х під одним і тим же кутом. Цей кут залежить від коефіцієнта k.

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої – графіка функції

y = kx + b,

використовуючи термін кутовий коефіцієнт прямої, доведену вище властивість можна сформулювати так:

Якщо кутові коефіцієнти прямих, що є графіками двох лінійних функцій, різні, то ці прямі перетинаються, а якщо кутові коефіцієнти однакові, то прямі паралельні.

З формули

y = kx + b,

витікає, що при х = 0 значення у рівне b. Значить, графік функції

y = kx + b

перетинає вісь у в точці з координатами (0; b).

ПРИКЛАД:

На малюнку зображені прямі, які є графіками функцій, заданих формулами виду y = kx + b з різними а і одним і тим же значенням b. Усі ці прямі перетинаються в одній точці, що лежить на осі у.

ПРИКЛАД:

При яких значеннях k та b графік лінійної функції y = kx + b перетинається з графіком функції

у = 12х + 18 ?

k =12, b = 20,

k =12, b = 18,

k =14, b = 18,

k =18, b = 12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо кутові коефіцієнти прямих, є графіками двох лінійних функцій, різні, ці прямі перетинаються. Отже при

k =14, b = 18 і k =18, b = 12

прямі перетинаються.

ПРИКЛАД:

Виберіть функції, графіки яких паралельні графіку функції:

у = 0,7х + 0,3.

у = 1,7х + 0,3,

у = 0,7х,

у = 0,3х + 0,7,

у = 0,7х + 2,3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо кутові коефіцієнти однакові, то прямі паралельні, отже, паралельні графіку функції у = 0,7х + 0,3 будуть наступні функції у = 0,7х, у = 0,7х + 2,3.

ПРИКЛАД:

Графік деякої лінійної функції виду y = kx + 1 паралельний графіку функції y = –0,4x. Знайдіть значення коефіцієнта k і з'ясуйте, чи належить цьому графіку точка М(50; – 19).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки прямі паралельні, отже, кутові коефіцієнти вони рівні, k = –0,4. Тоді функція y = kx + 1 виглядатиме так:

y = –0,4x + 1.

Підставимо координати точки М у це рівняння:

–19 = –0,4 ∙ 50 + 1, –19 = –19.

ВІДПОВІДЬ: точка М належить цьому графіку

ПРИКЛАД:

Задайте формулою лінійну функцію, графіком якої є пряма, яка проходить через точку А(2; 3) і паралельна графіку функції y = 1,5x – 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки прямі паралельні, отже, кутові коефіцієнти вони рівні, k = 1,5. Тоді функція y = kx + b виглядатиме так:

y = 1,5x + b.

Знайдемо b:

b = 1,5x – у.

Підставимо в це рівняння координати точки А:

b = 1,5 ∙ 2 – 3 = 0.

Значить формула виглядатиме так:

у = 1,5х.

ПРИКЛАД:

Знайдіть точку перетину прямих:

у = 2х – 3 и у = 2 – ¹/₂х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для лінійної функції у = 2х – 3 маємо:

Пряма l₁, що служить графіком лінійної функції у = 2х – 3 показана малюнку через точки (0; –3) і (2; 1).

Для лінійної функції у = 2 – ¹/₂х маємо:

Пряма l₂, що служить графіком лінійної функції у = 2 – ¹/₂х показана малюнку через точки (0; 2) і (2; 1).
ВІДПОВІДЬ: точкою перетину прямих буде точка з координатами (2; 1).

ПРИКЛАД:

Знайдіть точку перетину прямих:

у = 2х – 3 и у = 2 – 3х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перший метод: графічний.

Збудуємо графіки функцій в одній системі координат.

Для функції у = 2х – 3 маємо:

Для функції у = 2 – 3х маємо:

З графіка видно, що точка перетину має координати

А(1; –1).

Другий спосіб: аналітичний.

Кутові коефіцієнти прямих різні, отже прямі перетинаються лише у точці. Ця загальна точка має координату (х₀; у₀). Прирівнявши праві частини та розв'язавши рівняння, ми знайдемо абсцис точки перетину.

2х₀ – 3 = 2 – 3х₀,

2х₀ + 3х₀ = 2 + 3,

5х₀ = 5, х₀ = 1.

Щоб знайти ординату, підставимо отримане значення аргументу х0 одну з функцій:

у₀ = 2х₀ – 3 = 2 ∙ 1 – 3 = – 1.

ВІДПОВІДЬ: А(1; –1)

Завдання до уроку 21

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 7 июля 2017 г.