Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції

понедельник, 18 апреля 2016 г.

Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції

Щоб встановити функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули y = f(x), де f(x) – деякий вираз зі змінною х. У такому разі кажуть, що функція задана формулою або функція задана аналітично. Якщо дві величини, що характеризують якийсь процес, змінюються в ході процесу так, що між зміною однієї і іншої з цих величин є певна залежність, то кажуть, що між цими величинами існує функціональний зв'язок, або функціональна залежність. Та змінна величина, що у цьому процесі змінюється незалежно від іншої величини, називається аргументом. Та сама змінна величина, значення якої визначається значеннями аргументу, називається функцією. Функціональна залежність записується символічно так:

і читається: у є функція від х (игрек дорівнює еф від ікс). Тут:

х – аргумент, тобто незалежна змінна,

у – функція, значення якої залежить від значення x.

І тут маємо функцію, задану рівністю y = f(x). Щоправда, часто слова «задана рівність» опускають і говорять коротше: маємо функцію y = f(x).

Залежно від того, якою формулою виражається та чи інша функція, розглядають різні види функцій. В елементарній математиці розглядаються дії додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня, логарифмування, обчислення синусів, косинусів, тангенсів, котангенсів, секансів, косекансів, арксинусів, арккосинусів, арктангенсів, арккотангенсів, арксекансів і арккосекансів. Ці дії називають елементарними діями. Дії додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня з раціональним показником, добування кореня називають також алгебраїчними діями. Інші елементарні дії називають елементарними трансцендентними.

Якщо функцію можна задати формулою, яка містить лише алгебраїчні дії, її називають алгебраїчною функцією.

Якщо функцію можна задати формулою, яка містить елементарні дії, серед яких є і елементарні трансцендентні дії, тої називають елементарною трансцендентної функцією.

Завдання функції формулою зручне тим, що дає можливість визначити значення функції для довільного значення аргументу. Таке завдання функції досить економно: здебільшого формула займає один рядок. Якщо функцію задають формулою і нічого не говорять про область її визначення, то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст.

ПРИКЛАД:

Співвідношення між довжиною сторони квадрата і його площею S можна задати формулою S = a². Задавання функції формулою зручно тим, що це дає можливість знаходити значення функції будь-якого значення аргументу. Таке завдання функції дуже економне: найбільше формула займає лише один ряд.

ПРИКЛАД:

Залежність об'єму куба v від довжини його ребра можна виразити формулою:

v = a³.

Ця формула показує, як кожного значення а можна обчислити відповідне значення v. Якщо а = 4, то а³ = 64, и т. д..

ПРИКЛАД:

Нехай Х = {–2; 1; 2; 4} – безліч значень змінної х. Кожному значенню змінної х поставимо у відповідність значення змінної у, обчислене за формулою:

y = х(х – 2).

Отримуємо:

Знаючи множину Х значень змінної х, ми знайшли множину Y відповідних значень змінної у:

Y = {8; –1; 0}.

За допомогою формули

у = х(х – 2)

між множинами Х та Y встановлено відповідність. Ця відповідність є функцією, тому що кожному елементу множини Х (значення змінної х) відповідає єдиний елемент множини Y (значення змінної у).

Якщо цю функцію позначити літерою f, то можна записати, що

f (–2) = 8, f (1) = –1,

або взагалі:

f (х) = х(х – 2), де х ∈ Х.

Якщо функція, задана формулою у = f(х), визначена на безлічі тих значень змінної х, при яких вираз f(х) має сенс, то при завданні функції формулою область її визначення зазвичай не вказується.

ПРИКЛАД:

Якщо говориться, що функція задана формулою:

і при цьому нічого не сказано про область її визначення, то передбачається, що область визначення функції складається з усіх чисел, крім 2, тому що при значенні аргументу рівного 2, у знаменнику дробу буде 0, а на 0 ділити не можна. Говорять, що при значенні аргументу рівного 2 функція буде невизначеною.

Залежно від цього, який формулою виражається та чи інша функція, розглядають різні види функцій. В елементарній математиці розглядаються дії додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь, вилучення кореня, логарифмування, обчислення синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів, секансів, косекансів, арксинусів, арккосинусов, арктангенсов, арккоарсенс і арккоарсен. Ці дії називають елементарними діями. Дії додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення у ступінь з раціональним показником, вилучення кореня називають також алгебраїчними діями. Інші елементарні дії називають елементарними трансцендентними..

Якщо функцію можна задати формулою, що містить тільки дії алгебри, її називають функцією алгебри.

Якщо функцію можна задати формулою, що містить елементарні дії, до складу яких входять і елементарні трансцендентні дії, її називають елементарною трансцендентною функцією.

ПРИКЛАД:

Функцію задано формулою

f(x) = x²+ 4.

Обчисліть f(3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

f(3) = 3²+ 4 = 13.

ПРИКЛАД:

Функцію задано формулою

f(x) = х² – 6.

Обчисліть f(–2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

f(x) = (–2)² – 6 = 4 – 6 = –2.

ПРИКЛАД:

Функція у = f(x) задана аналітично формулою:

Знайти f(–x).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Щоб знайти f(–x), треба в f(x) усюди замість х підставити (–х). Отримаємо:

Отже,

ПРИКЛАД:

Функція у = f(x) задана аналітично формулою:

Знайти f(kx).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже,

ПРИКЛАД:

Функція у = f(x) задана аналітично формулою:

Знайти f(|x|).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Функція у = f(x) задана аналітично формулою:

Знайти f(x + a).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Функція у = f(x) задана аналітично формулою:

Ця функція визначена на відрізку [–1; 1]. Для обчислення її значення потрібно точно визначити, якою формулою слід скористатися заданого конкретного значення аргументу. Наприклад, якщо потрібно обчислити f(0,5), скористаємось рівністю f(x) = x + 2 (оскільки число х = 0,5 задовольняє умові 0 < x ≤ 1) і отримаємо f(0,5) = 2,5. Якщо ж потрібно обчислити f(–0,5), то скористаємось рівністю f(x) = 2x + 3 (оскільки число х = –0,5 задовольняє умові –1 ≤ x < 0) та отримаємо f(–0,5) = 2.

Завдання до уроку 6

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 18 апреля 2016 г.