Урок 5. Що таке функція ?

вторник, 21 марта 2017 г.

Урок 5. Що таке функція ?

Функція – одне з важливих понять у математиці, вона дає можливість досліджувати і моделювати як стан предметів, а й процеси.

Функціональна залежність.

Часто буває так, що одна змінна величина залежить від іншої: кожному значенню однієї величини відповідає значення іншої.

Якщо дві змінні величини пов’язані між собою так, що кожному значенню однієї з них відповідає певне значення іншої, то кажуть, що між цими змінними існує функціональна залежність.

ПРИКЛАД:

Радіус кола і його довжина.

Маса покупки і її вартість

Вага тіла і його відстань від центра Землі.

ПРИКЛАД:

На малюнку показані відповідності між безліччю

А = {1; 2; 3; 4}

і безліччю

В = {15; 20; 25}.

Відповідно до кожного елемента множини А відповідає один і тільки один елемент множини В (від кожної точки виходить стрілка, і притому тільки одна). Для таких відповідностей використовується спеціальний термін: функція.

Відповідність h не є функцією, так як елемента 1 немає відповідного елемента (від точки 1 не виходить стрілка).

Співвідношення p також не є функцією, так як елемент 2 відповідає більше одного елемента (від точки 2 виходить дві стрілки).

Відповідність між множиною Х і множиною Y, при якому кожному елементу множини Х відповідає один і тільки один елемент множини Y, називається функцією.

Функцію з областю визначення Х і множиною значень Y називають також відображенням множини Х на множині Y.

ПРИКЛАД:

Функцію f, задану стрілками на малюнку, можна назвати відображенням множини А на множині В.
Відображення f переводить число –2 до 4. Це записується так:
f (–2) = 4 (читається: “ еф від мінус двох дорівнює чотирьом ”).

Аргумент і функція.

Якщо дві змінні величини перебувають у функціональній залежності, то та з них, яка може набувати довільних допустимих значень, називається незалежною змінною або аргументом. Друга величина, значення якої залежать від значень аргументу, називається залежною змінною або функцією.

ПРИКЛАД:

Відомо, що чим вища температура, тим довшою стає стальна рейка, тобто довжина рейки залежить від температури. В даному випадку температура – аргумент, а довжина рейки – функція.

Площа квадрата є функцією довжини його боку.

Шлях, пройдений поїздом, – функція часу.

Урожайність – функція кількості добрив.

Значення тричлену

х² + 5х + 6

– функція значень х.

Якщо у є функція х, пишуть y = f(x) і читають “у дорівнює еф від х”. для позначення функціональної залежності користуються й іншими буквами.

ПРИКЛАД:

Якщо v є функція t, можна записати і так: v = φ(t) (“v дорівнює фі від t”).

Зазначимо, що в сучасній математиці функцією називають не тільки залежну змінну величину, а й ту відповідність, при якій кожному значенню однієї величини відповідає певне значення іншої, а також відповідність між значеннями величин та відповідність між елементами двох довільних множин. Сучасне загальне визначення функції таке:

Відповідність між множиною Х і множиною Y, при якій кожному елементу множини Х відповідав один і тільки один елемент множини Y, називається функцією.

При цьому множина Х називається областю визначення даної функції. Множину всіх тих елементів з У, які відповідають хоч одному з елементів множини Х, називають множиною значень даної функції.

ПРИКЛАД:

Відповідність f, зображена на рисунку стрілками, є функція, а відповідності g і h – не функції.

Функцією, визначеною на множині М, називається правило f, при якому кожному елементу х множини М ставиться у відповідність єдиний елемент f(x) деякої множини N.

Деякі математики множини М і N називають областями відправлення та прибуття і дають таке визначення.

Функція – це відповідність, у якому кожному елементу області відправлення відповідає єдиний елемент області прибуття.

Для функції f область визначення {a, b, c, d}, а множина значень {1, 2, 3}. деякі математики множини Х та У називають областями відправлення і прибуття і дають таке визначення: функція – це відповідність, при якій кожному елементу області відправлення відповідає єдиний елемент області прибуття.

Таким чином, тепер у математиці словом функція називають і відповідність f, і величину f(x).

Нове сучасне поняття функції не суперечить старому (класичному), воно лише більш загальне.

Функції, які задані на числовій множині і значення яких – також числа, тепер називають числовими функціями.

Ми будемо розглядати тільки числові функції і називати їх для короткості просто функціями.

Якщо дані: числова множина X і правило f, що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу х із множини Х певне число у, то кажуть, що задана функція у = f(х) з областю визначення Х. Пишуть:

у = f(х), x ∈ X.

При цьому змінну х називають незалежною змінною чи аргументом, а змінну у – залежною змінною.

Для області визначення функції використовують також позначення D(f). Безліч усіх значень функції у = f(х), x ∈ X називають областю значень функції і позначають E(f).

Якщо функція задана виразом, то допускається її завдання у = f(х) без умови x ∈ X у разі, коли область визначення виразу f(х) збігається з областю визначення функції.

ПРИКЛАД:

Запис <<функція у = √͞͞͞͞͞x >> означає

у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0, +∞),

оскільки область визначення виразу √͞͞͞͞͞x задається нерівністю х ≥ 0.

Завдання до уроку 5

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 21 марта 2017 г.