Урок 29. Функція у = хn і її графік

понедельник, 20 августа 2018 г.

Урок 29. Функція у = хn і її графік

СТАТЕЧНІ ФУНКЦІЇ

Графік статечної функції.

Статечна функція з показником рівним нулю, р = 0.

Якщо показник статечної функції у = х^р дорівнює нулю, р = 0, то статечна функція визначена для усіх х ≠ 0 і являється постійній, рівній одиниці.

у = х^р = х⁰ = 1, х ≠ 0.

Статечна функція з натуральним непарним показником,

n = 1, 3, 5, ….

Розглянемо статечну функцію

y = х^р = хⁿ

c натуральним непарним показником степеня

n = 1, 3, 5, … .

Такий показник також можна записати у виді:

n = 2k + 1, где k = 0, 1, 2, 3, … – ціле не негативне.

Графік статечної функції y = хⁿ з натуральним непарним показником при різних значеннях показника степеня

n = 1, 3, 5, … .

Область визначення: –∞ < х < +∞

Безліч значень: –∞ < у < +∞

Парність: непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність: монотонно зростає

Екстремуми: ні

Опуклість: при –∞ < х < 0 опукла вверх,

при 0 < х < ∞ опукла вниз

Точки перегинів: х = 0, у = 0

Точки перетину з осями координат: х = 0, у = 0

Зворотна функція:

при n = 1, функція є зворотною до самої собі: х = у

при n ≠ 1, зворотною функцією є корінь міри n:

Статечна функція з натуральним парним показником,

n = 2, 4, 6, ….

Розглянемо статечну функцію

y = х^р = хⁿ

c натуральним парним показником степеня

n = 2, 4, 6, … .

Такий показник також можна записати у виді:

n = 2k, где k = 1, 2, 3, … – натуральне.

Графік статечної функції y = хⁿ з натуральним парним показником при різних значеннях показника степеня

n = 2, 4, 6, … .

Область визначення: –∞ < х < +∞

Безліч значень: 0 ≤ у < +∞

Парність: парна, у(–х) = у(х)

Монотонність: при х < 0 монотонно убуває

при х ˃ 0 монотонно зростає

Екстремуми: мінімум х = 0, у = 0

Опуклість: опукла вниз

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: х = 0, у = 0

Зворотна функція:

при n = 2, квадратний корінь:

при n ≠ 2, корінь степеня n:

Статечна функція з цілим негативним показником

n = –1, –2, –3, … .

Розглянемо статечну функцію

y = х^р = хⁿ

з цілим негативним показником степеня

n = –1, –2, –3, … .

Якщо покласти n = –k, де k = 1, 2, 3, … – натуральне, то її можна представити у виді:

Графік статечної функції y = хⁿ з цілим негативним показником n = –1, –2, –3, … .

Непарний показник, n = –1, –3, –5, … .

Область визначення: х ≠ 0

Безліч значень: у ≠ 0

Парність: непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність: монотонно убуває

Екстремуми: ні

Опуклість: при х < 0; опукла вверх

при х ˃ 0; опукла вниз

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: ні

Зворотна функція:

Парний показник, n = –2, –4, –6, … .

Область визначення: х ≠ 0

Безліч значень: у ˃ 0

Парність: непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність: при х < 0; монотонно зростає

при х ˃ 0; монотонно убуває

Екстремуми: ні

Опуклість: опукла вниз

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: ні

Зворотна функція:

Статечна функція з раціональним (дробовим) показником.

Розглянемо статечну функцію

y = x^p

з раціональним (дробовим) показником степеня

де n – ціле, m ˃ 1 – натуральне. Причому, n, m не має загальних дільників.

Знаменник дробового показника - непарний.

Нехай знаменник дробового показника степеня

непарній m = 3, 5, 7, … . В цьому випадку, статечна функція x^p визначена як для позитивних, так і для негативних значень аргументу х.

Розглянемо властивості таких статечних функцій, коли показник р знаходиться в певних межах.

Показник р негативній, р < 0.

Нехай раціональний показник міри (з непарним знаменником m = 3, 5, 7, … .) менше нуля

Графіки статечних функцій

з раціональним негативним показником при різних значеннях показника степеня

де m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = –1, –3, –5, … .

Приводимо властивості статечної функції y = x^p з раціональним негативним показником

де n = –1, –3, –5, … – непарне негативне ціле, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення: х ≠ 0

Безліч значень: у ≠ 0

Парність: непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність: монотонно убуває

Екстремуми: ні

Опуклість: при х < 0; опукла вверх

при х ˃ 0; опукла вниз

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: ні

Зворотна функція:

Парний показник, n = –2, –4, –6, … .

Властивості статечної функції y = x^p з раціональним негативним показником

де n = –2, –4, –6, … – парне негативне ціле, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення: х ≠ 0

Безліч значень: у ˃ 0

Парність: парна, у(–х) = у(х)

Монотонність: при х < 0; монотонно зростає

при х ˃ 0; монотонно убуває

Екстремуми: ні

Опуклість: опукла вниз

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: ні

Зворотна функція:

Показник р позитивний, менше одиниці, 0 < р < 1.

Графіки статечних функцій

з раціональним показником (0 < р < 1) при різних значеннях показника степеня

де m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = 1, 3, 5, … .

Представлені властивості статечної функції y = х^р з раціональним показником

що знаходиться в межах 0 < р < 1, де n = 1, 3, 5, … – непарне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення: –∞ < х < +∞

Безліч значень: –∞ ≤ у < +∞

Парність: непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність: монотонно зростає

Екстремуми: ні

Опуклість: при х < 0; опукла вниз

при х ˃ 0; опукла вверх

Точки перегинів: х = 0, у = 0

Точки перетину з осями координат: х = 0, у = 0

Зворотна функція::

Парний показник, n = 2, 4, 6, … .

Представлені властивості статечної функції y = х^р з раціональним показником

що знаходиться в межах 0 < р < 1, де n = 2, 4, 6, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення: –∞ < х < +∞

Безліч значень: 0 ≤ у < +∞

Парність: парна, у(–х) = у(х)

Монотонність: при х < 0; монотонно убуває

при х ˃ 0; монотонно зростає

Екстремуми: мінімум при х = 0, у = 0

Опуклість: опукла вверх при х ≠ 0

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: х = 0, у = 0

Зворотна функція:

Показник р більше одиниці, р ˃ 1.

Графік статечної функції

з раціональним показником (р ˃ 1) при різних значеннях показника степеня

де m = 3, 5, 7, … – непарне.

Непарний показник, n = 5, 7, 9, … .

Властивості статечної функції y = x^p з раціональним показником більшим одиниці

де n = 5, 7, 9, … – непарне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення: –∞ < х < +∞

Безліч значень: –∞ < у < +∞

Парність: непарна, у(–х) = –у(х)

Монотонність: монотонно зростає

Екстремуми: ні

Опуклість: –∞ < х < 0 опукла вверх

0 < х < +∞ опукла вниз

Точки перегинів: х = 0, у = 0

Точки перетину з осями координат: х = 0, у = 0

Зворотна функція: :

Парний показник, n = 4, 6, 8, … .

Властивості статечної функції y = x^p з раціональним показником більшим одиниці

де n = 4, 6, 8, … – парне натуральне, m = 3, 5, 7, … – непарне натуральне.

Область визначення: –∞ < х < +∞

Безліч значень: 0 ≤ у < +∞

Парність: парна, у(–х) = у(х)

Монотонність: при х < 0; монотонно убуває

при х ˃ 0; монотонно зростає

Екстремуми: мінімум при х = 0, у = 0

Опуклість: опукла вниз

Точки перегинів: ні

Точки перетину з осями координат: х = 0, у = 0

Зворотна функція:

ФУНКЦІЯ х³ І ЇЇ ГРАФІК

Функція у = х³ називається кубічною функцією.

Складемо таблицю значень функції

у = х³.

З таблиці видно, що при х > 0 і у > 0 (куб позитивного числа позитивний), а при х < 0 і у < 0 (куб негативного числа негативний). Отже, графік розташується на координатній площині в I і III чвертях. Замінимо значення аргументу х протилежним значенням –х, тоді і функція набуде протилежного значення; оскільки якщо у = х³, то

(–х)³ = –у.

Значить, кожній точці (х; у) графіку відповідає точка (–х; –у) того ж графіку, розташована симетрично відносно початку координат.

Таким чином, початок координат є центром симетрії графіку.

Графік функції у = х³ зображений на малюнку. Ця лінія називається кубічною параболою.

У I чверті кубічна парабола (при х > 0) <<круто>> піднімається вгору (значення у <<швидко>> зростають при зростанні х, див. таблицю), при малих значеннях х лінія <<тісно>> проходить до осі абсцис (при <<малих>> значеннях х значення у <<дуже мало>>, см. таблицю). Ліва частина кубічної параболи (у III чверті) симетрична правою відносно початку координат.

Акуратно викреслений графік може служити засобом наближеного зведення чисел в куб. Так, наприклад, поклавши х = 1,6, знайдемо по графіку у ≈ 4,1. Для наближеного обчислення кубів складені спеціальні таблиці.

Якщо графік квадратичної функції був симетричний осі Оу, то графік кубічної параболи симетричний відносно початку координат, тобто точки (0; 0).

Властивості кубічної функції.

– при х = 0, у = 0, при х > 0, у > 0, при х < 0, у < 0;

– у кубічної функції не існує не максимального ні мінімального значення;

– кубічна функція зростає на усій числовій осі (–∞; +∞);

– протилежним значенням х, відповідають протилежні значення у.

ФУНКЦІЯ

Перерахуємо властивості функції.

– область визначення функції – уся числова пряма;

– функція непарна, оскільки

– функція зростає на усій числовій прямій.

Для побудови графіку функції складемо таблицю кубічних коренів (наближені значення):

Графік функції зображений на кресленні.

Завдання до уроку 29

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 20 августа 2018 г.