Урок 24. Квадратичная функция

Квадратичной (или квадратной) называют функцию, которую можно выразить формулой

у = aх² + bх + c,

где  х – аргумент,  а ≠ 0,  b  и  c – данные числа.

Квадратичную функцию называют параболой.

Всякую квадратичную функцию можно задать уравнением вида:

у = a(х – m)² + n.

Для этого выделим из трёхчлена квадрат двучлена:

Уравнение

у = aх² + bх + c

Равносильно уравнению:

Обозначим значения выражений

соответственно через  m  и  n. Тогда уравнение принимает вид:

у = a(х – m)² + n.

где  m  и  n – координаты вершины квадратичной функции или

 Квадратичную функцию можно записать:

– в виде многочлена:

у = aх² + bх + c, где  а ≠ 0;

Например, у = 4х² – 24х + 20.

– в виде разложения на множители (если корни соответствующего квадратного трёхчлена существуют):

у = а(х –х₁)(х – х₂);

Например, у = 4(х –1)(х – 5);

– в виде выделенного полного квадрата:

у = a(х – m)² + n

Например, у = 4(х – 3)² – 16.

Область определения функции – все действительные числа то есть  D = R.

Множество значений функции.

Если  а ˃ 0, то  E = [y_в; +∞).

Если  а < 0, то  E = (–∞; y_в],

где  х_в  и  y_в – координаты вершины параболы.

ПРИМЕР:

Исследуем на экстремум функцию 

у = х² + 2х + 5.

у = х² + 2х + 5 =

(х + 1)² + 4.

Выражение 

(х + 1)² 

всегда положительное и только при 

х = –1 

равно нулю. Поэтому, в точке 

х = –1 

данная функция имеет минимум. Максимума функция не имеет.

ПРИМЕР:

Какое наибольшее значение приобретает функция ?

6х² – х⁴ – 6.

РЕШЕНИЕ:

f(x) = 6х² – х⁴ – 6 =

(– х⁴ + 2 ∙ 3х² – 3²) + 3 =

=–(х⁴ – 2 ∙ 3х² + 3²) + 3 =

–(х² – 3)² + 3.

Максимальное значение функция приобретет тогда, когда  –(х² – 3)² = 0, поэтому  f(x)_max = 3.

ОТВЕТ:  3

ПРИМЕР:

При каких значениях  а  и  с  вершина параболы

y = аx² + 6x + c

находится в точке

А(1; 7) ?

РЕШЕНИЕ:

Вершина параболы  y = аx² + 6x + c  имеет координаты:

откуда  а = –3.

у(1) = –3 ∙ 1² + 6 ∙ 1 + с = 7.

отсюда:  с = 4.

ОТВЕТ:  а = –3, с = 4

ПРИМЕР:

При каком значении с наибольшее значение функции

у = –0,5x² + 4x + с

равно  –2 ?

РЕШЕНИЕ:

Вершина параболы  y = –0,5x² + 4x + с  имеет координаты:

Поэтому максимальное значение  –2  функция приобретает в точке  х = 4. Отсюда

–2 = –0,5 ∙ 4² + 4 ∙ 4 + с,  с = –10.

Следовательно, максимальное значение  –2  функция приобретает, если  с = –10.

ОТВЕТ:  с = –10

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

6х – х² ≥ 0,  х² – 6х ≤ 0,  0 ≤ х ≤ 6.

А также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

5 – х ˃ 0, х < 5.

ОТВЕТ:  [0; 5)

ПРИМЕР:

Найдите координаты вершины параболы:

у = 2х² + 4х – 1.

Координаты вершины параболы можно найти следующим образом. Абсциссу вычислим по формуле

Имеем:

Подставив

х = –1

в уравнение

у = 2х² + 4х – 1,

найдём ординату вершины параболы:

у = 2 × (–1)² + 4(–1) – 1 = –3.

Координаты вершины параболы

(–1; –3).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

56 – х – х² ≥ 0.

Решаем квадратное уравнение и находим корни:

х₁ = 8, х₂ = –7.

(х – 7)(х + 8) ≤ 0,

х ∈ [–8; 7],

х ≤ –7, х ≥ –8.

а также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

х² – 49 ≠ 0,

х² ≠ 49, х ≠ ±7.

ОТВЕТ:  [–8; –7) ∪ (–7; 7)

ПРИМЕР:

Найти область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

х² – 3х – 4 ≥ 0.

Решаем квадратное уравнение и находим корни:

х₁ = 4, х₂ = –1.

(х – 4)(х + 1) ≥ 0,

х ≤ –1, х ≥ 4.

а также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

16 – х² ≠ 0,

х² ≠ 16, х ≠ ±4.

ОТВЕТ:

(–∞; –4) ∪ (–4; –1] ∪ (4; +∞)

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ: 90 – х – х² ˃ 0,

х² + х – 90 < 0,

(х + 10)(х – 9) < 0,

х ∈ (–10; 9).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ: 3х² – 10х + 3 ≥ 0,

 (х – ¹/₃)(х – 3) ≥ 0,

х ∈ (–∞; ¹/₃] ∪ [3; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции

есть любые значения  х, ибо

2х² + 7 ≠ 0.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

х ∈ (–¹/₃; 0] ∪ [3; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

х ∈ [–3; 4) ∪ (4; 6].

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:

РЕШЕНИЕ:

х ∈ (–∞; –5) ∪ [2; 3,5) ∪ (3,5; +∞).

Простейшей квадратичной функцией есть функция вида

у = х².

Это –неограниченная чётная функция, определённая для всех действительных значений аргумента  х. При  х ˃ 0  она возрастающая, а при  х < 0 – убывающая.

Областью значения функции 

у = х²

есть все неотрицательные числа.

Квадратичная функция вида  у = aх²  также чётная, неограниченная, определённая для всех действительных  х.

ПРИМЕР:

Функция  f(x) = x²  задана на отрезке  [0; 3]. Обратима ли она ? Напишите формулу, которой задается функция  g, обратимая к  f. Какова область определения и множество значений функции  g ?

РЕШЕНИЕ:

На отрезке  [0; 3]  разным значениям переменной  х  соответствуют разные значения  f(x). Поэтому, функция  f  обратима. Она каждому числу  х  из промежутка  [0; 3]  ставит в соответствие его квадрат (число из промежутка  [0; 9]). Поэтому обратная к ней функция каждому действительному числу  х  из промежутка  [0; 9]  ставит в соответствие его арифметический квадратный корень из промежутка  [0; 3]. Поэтому, функцию  g  можно задать такой формулой:

g(x) = √͞͞͞͞͞x ,  х ∈ [0; 9].

Область определения функции  g  представляет собой отрезок  [0; 9], а множество значений – [0; 3]. Функция  f(x) = √͞͞͞͞͞x   задана на отрезку  [0; 9].

ПРИМЕР:

Функция  f(x) = x²  задана на отрезку  [–3; 3]. Обратная ли она ?

РЕШЕНИЕ:

Дання функция  f  двум противоположным значениям переменной  х  из промежутка  [–3; 3]  ставит в соответствие то же число. Например

f(–2) = 4  и  f(2) = 4.

Поэтому соответствие, обращенное к  f, не является функцией. Следовательно, функция  f  не обратима.

Задания к уроку 24

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3
• Задание 4

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 6. Аналитический способ задания функции
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 16. Функция, обратная данной
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 18. График линейной функции
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 25. График функции  у = aх² + b
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 29. Функция  y = хⁿ и её график
• Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований