Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 21 сентября 2017 г.

Урок 24. Квадратичная функция

Квадратичной (или квадратной) называют функцию, которую можно выразить формулой

у = aх2 + bх + c,

где  х – аргумент,  а ≠ 0,  b  и  c – данные числа.

Квадратичную функцию называют параболой.

Всякую квадратичную функцию можно задать уравнением вида:

у = a(х – m)2 + n.

Для этого выделим из трёхчлена квадрат двучлена:
Уравнение

у = aх2 + bх + c

Равносильно уравнению:
Обозначим значения выражений
соответственно через  m  и  n. Тогда уравнение принимает вид:

у = a(х – m)2 + n.

где  m  и  n – координаты вершины квадратичной функции или
 Квадратичную функцию можно записать:

в виде многочлена:

у = aх2 + bх + c, где  а ≠ 0;

Например, у = 4х224х + 20.

в виде разложения на множители (если корни соответствующего квадратного трёхчлена существуют):

у = а(х –х1)(х – х2);

Например, у = 4(х –1)(х – 5);

в виде выделенного полного квадрата:

у = a(х – m)2 + n

Например, у = 4(х – 3)216.

Область определения функции – все действительные числа то есть  D = R.

Множество значений функции.

Если  а ˃ 0, то  E = [yв; +∞).

Если  а < 0, то  E = (–∞; yв],

где  хв  и  yв – координаты вершины параболы.

ПРИМЕР:

Исследуем на экстремум функцию 

у = х2 + 2х + 5.

у = х2 + 2х + 5 =

(х + 1)2 + 4.

Выражение 

(х + 1)2 

всегда положительное и только при 

х = –1 

равно нулю. Поэтому, в точке 

х = –1 

данная функция имеет минимум. Максимума функция не имеет.

ПРИМЕР:

Какое наибольшее значение приобретает функция ?

6х2х4 – 6.

РЕШЕНИЕ:

f(x) = 6х2х4 – 6 =

(– х4 + 2 3х2 – 32) + 3 =

=–(х4 – 2 3х2 + 32) + 3 =

–(х2 – 3)2 + 3.

Максимальное значение функция приобретет тогда, когда  –(х2 – 3)2 = 0, поэтому  f(x)max = 3.

ОТВЕТ:  3

ПРИМЕР:

При каких значениях  а  и  с  вершина параболы

y = аx2 + 6x + c

находится в точке

А(1; 7) ?

РЕШЕНИЕ:

Вершина параболы  y = аx2 + 6x + c  имеет координаты:
откуда  а = –3.

у(1) = –3 12 + 6 1 + с = 7.

отсюдас = 4.

ОТВЕТ:  а = –3, с = 4

ПРИМЕР:

При каком значении с наибольшее значение функции

у = –0,5x2 + 4x + с

равно  –2 ?

РЕШЕНИЕ:

Вершина параболы  y = –0,5x2 + 4x + с  имеет координаты:
Поэтому максимальное значение  –2  функция приобретает в точке  х = 4. Отсюда

2 = –0,5 42 + 4 4 + сс = –10.

Следовательно, максимальное значение  –2  функция приобретает, если  с = 10.

ОТВЕТ:  с = –10

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

6хх2 0,  х2 – 6х 0,  0 х 6.

А также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

5 – х ˃ 0, х < 5.

ОТВЕТ:  [0; 5)

ПРИМЕР:

Найдите координаты вершины параболы:

у = 2х2 + 4х – 1.

Координаты вершины параболы можно найти следующим образом. Абсциссу вычислим по формуле
Имеем:
Подставив

х = –1

в уравнение

у = 2х2 + 4х – 1,

найдём ординату вершины параболы:

у = 2 × (–1)2 + 4(–1)1 = –3.

Координаты вершины параболы

(–1; –3).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

56 – хх2 0.

Решаем квадратное уравнение и находим корни:
х1 = 8, х2 = –7.

(х – 7)(х + 8) 0,

х [–8; 7],

х –7, х –8.

а также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

х2 – 49 ≠ 0,

х2 ≠ 49, х ±7.

ОТВЕТ:  [–8; –7) (–7; 7)

ПРИМЕР:

Найти область определения функции:
РЕШЕНИЕ:

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

х2 – 3х – 4 0.

Решаем квадратное уравнение и находим корни:
х1 = 4, х2 = –1.

(х – 4)(х + 1) 0,

х –1, х 4.

а также из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

16 – х2 ≠ 0,

х2 ≠ 16, х ±4.

ОТВЕТ:

(–∞; –4) (–4; 1] (4; +∞)

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:

ОДЗ: 90 – хх2 ˃ 0,

х2 + х – 90 < 0,

(х + 10)(х – 9) < 0,

х (–10; 9).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:

ОДЗ: 3х2 – 10х + 3 ≥ 0,

 (х1/3)(х – 3) ≥ 0,

х (–∞; 1/3] [3; +∞).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции
есть любые значения  х, ибо

2х2 + 7 0.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:
х (–1/3; 0] [3; +).

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:
х [–3; 4) (4; 6].

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции:
РЕШЕНИЕ:
х (–∞; –5) [2; 3,5) (3,5; +∞).

Простейшей квадратичной функцией есть функция вида

у = х2.

Это –неограниченная чётная функция, определённая для всех действительных значений аргумента  х. При  х ˃ 0  она возрастающая, а при  х < 0 – убывающая.

Областью значения функции 

у = х2

есть все неотрицательные числа.

Квадратичная функция вида  у = aх2  также чётная, неограниченная, определённая для всех действительных  х.

ПРИМЕР:

Функция  f(x) = x2  задана на отрезке  [0; 3]. Обратима ли она ? Напишите формулу, которой задается функция  g, обратимая к  f. Какова область определения и множество значений функции  g ?

РЕШЕНИЕ:

На отрезке  [0; 3]  разным значениям переменной  х  соответствуют разные значения  f(x). Поэтому, функция  f  обратима. Она каждому числу  х  из промежутка  [0; 3]  ставит в соответствие его квадрат (число из промежутка  [0; 9]). Поэтому обратная к ней функция каждому действительному числу  х  из промежутка  [0; 9]  ставит в соответствие его арифметический квадратный корень из промежутка  [0; 3]. Поэтому, функцию  g  можно задать такой формулой:

g(x) = √͞͞͞͞͞x х [0; 9].

Область определения функции  g  представляет собой отрезок  [0; 9], а множество значений – [0; 3]. Функция  f(x) = √͞͞͞͞͞x   задана на отрезку  [0; 9].

ПРИМЕР:

Функция  f(x) = x2  задана на отрезку  [–3; 3]. Обратная ли она ?

РЕШЕНИЕ:

Дання функция  f  двум противоположным значениям переменной  х  из промежутка  [–3; 3]  ставит в соответствие то же число. Например

f(–2) = 4  и  f(2) = 4.

Поэтому соответствие, обращенное к  f, не является функцией. Следовательно, функция  f  не обратима.

Задания к уроку 24
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий