Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 4 июля 2018 г.

Урок 26. Графік функції у = a(х – m)2 + n

Розглянемо перетворення графіку функції  у = f(х). Ця побудова графіка функції
  
у = f(х – m).

Графік функції  у = f(х – m)  виходить з графіку функції  у = f(х)  за допомогою паралельного перенесення уздовж осі абсцис на  m  одиниць. Управо при  m > 0  і вліво при  m < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = (х + 1)2. 

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Запишемо  функцію у виді

у = (х – (–1))2. 

Тоді графік функції

у = (х + 1)2 

виходить з графіку функції  у = х2  паралельним перенесенням уздовж осі абсцис на  1  одиницю вліво, т. к.  m = – 1 < 0.
ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = 2(х – 6)2. 

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Це означає, що парабола, яка є графіком функції

у = 2х2,

переміщається на шість одиниць управо уздовж осі  х   (на графіці – червона парабола).
З попередніх перетворень виходить, що графік функції

у = f (х – m) + n

виходить з графіку функції

у = f(х)

за допомогою двох паралельних перенесень: зрушення уздовж осі абсцис на  m   одиниць (управо при  m > 0  і вліво при  m < 0) і зрушення уздовж осі ординат на  n  одиниць (вгору при  n > 0  і вниз при  n < 0). Ці зрушення можна виконати у будь-якому порядку: спочатку уздовж осі абсцис, а потім уздовж осі ординат або навпаки.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = –0,5(х – 2)2 + 1. 

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Очевидна наступна послідовність перетворень графіку:
будуємо графік функції 

у = х2.

Отримуємо з нього графік функції 

у = –х2 

(перетворення перше – симетрія відносно осі абсцис).
будуємо графік функції 

у = –0,5х2 

(перетворення друге – стискування попереднього графіку в два рази уздовж осі ординат).
Отримуємо з нього графік функції 

у = –0,5х2 + 1 

(перетворення третє – зрушення на одну одиницю вгору);
будуємо графік функції 

у = –0,5(х –2)2 + 1 

(перетворення четверте – зрушення попереднього графіку на дві одиниці управо).
Після виконання цих побудов отримуємо остаточний графік. На малюнку приведені: початковий етап побудови – графік функції  у = х2  і кінцевий етап – графік 

 у = –0,5(х –2)2 + 1.
Графіком функції

у = a(х – m)2 + n

являється парабола, конгруентна параболі

у = aх2,

вершиною якої служить точка з координатами

(m; n),

а віссю симетрії – пряма 

х = m.

При  а ˃ 0  гілки параболи спрямовані вгору, а при  а < 0 – вниз.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = 2(х – 4)2 + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Крок 1.

Будуємо графік функції

у = х2.

Крок 2.

Розтягуванням графіка функції  у = х2  від осі  Ох  в  2 рази, отримаємо графік функції

у = 2х2.
Крок 3.

Здійснюємо перенесення цього графіка паралельно осі абсцис праворуч на  4 одиниці масштабу. Одержимо графік функції

у = 2(х – 4)2.
Крок 4.

Виконаємо перенесення останнього графіка паралельно осі ординат вгору на  3 одиниці масштабу. Отримаємо графік функції

у = 2(х – 4)2 + 3.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = 0,5(х + 2)2 – 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Крок 1.

Будуємо графік функції

у = х2.
Крок 2.

Стисненням графіка функції  у = х2  до осі абсцис в  2 рази, отримаємо графік функції

у = 0,5х2.
Крок 3.

Здійснюємо перенесення цього графіка паралельно осі абсцис ліворуч на  2 одиниці масштабу. Одержимо графік функції

у = 0,5(х + 2)2.
Крок 4.

Виконаємо перенесення останнього графіка паралельно осі ординат донизу на  4 одиниці масштабу. Отримаємо графік функції

у = 0,5(х + 2)2 – 4.
ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

у = –3(х + 1)2 + 3,5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Крок 1.

Будуємо графік функції

у = х2.
Крок 2.

Розтягуванням графіка функції  у = х2  до осі абсцис в  3 рази, отримаємо графік функції

у = 3х2.
Крок 3.

Виконаємо симетричне відображення графіка відносно осі  Ох. Отримаємо графік функції

у = –3х2.
Крок 4.

Здійснюємо перенесення цього графіка паралельно осі абсцис ліворуч на  1 одиниці масштабу. Одержимо графік функції

у = –3(х + 1)2.
Крок 5.

Виконаємо перенесення останнього графіка паралельно осі ординат вгору на  3,5 одиниці масштабу. Отримаємо графік функції

у = –3(х + 1)2 + 3,5.
ПРИКЛАД:

Якого найменшого значення набуває вираз

(х + 4)(х2 – 4х + 16) – (х2 – 6)(х – 1)

і при якому значенні  х ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х + 2)(х2 – 2х + 6) – (х2 – 6)(х – 1) =

= х3 – 2х2 + 6х + 2х2 – 4х + 12 – х3 + х2 + 6х – 6 =

= 6х – 4х + 12 + х2 + 6х – 6 =

= х2 – 8х + 6 = х2 + 8х + 16 – 10 =

= (х + 4)2 – 10.

Графічний спосіб розв'язання.

Побудуємо графік функції:

у = (х + 4)2 – 10.
З графіка видно, що дана функція набуває найменшого значення при  х = –4  і  у = –10.

Аналітичний спосіб вирішення.

Даний вираз набуває найменшого значення, коли  х + 4 = 0, тобто коли  х = –4. Це значення дорівнює  –10.

ВІДПОВІДЬ:  найменше значення виразу дорівнює  –10  при  х = –4.

ПРИКЛАД:

Дослідити на екстремум функцію 

у = х2 – 2х + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = х2 – 2х + 5 =

= х2 – 2х + 1 + 4 = 

= (х – 1)2 + 4.

Графічний спосіб розв'язання.

Побудуємо графік функції:

у = (х – 1)2 + 4.

З графіка видно, що ця функція в точці  х = 1  має мінімум. Максимуму функція не має.

Аналітичний спосіб вирішення.

Вираз

(х – 1)2

завжди додатний і тільки при  х = 1  дорівнює нулю.

Отже, в точці  х = 1  дана функція має мінімум. Максимуму функція не має.

Завдання до уроку 26
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий